Lehrstuhl A für Mathematik Aachen, den 19. April 2000

Prof. Dr. A. Krieg, H. Hassenpflug, A. Marschner

3. Übung zur Analysis II

Abgabe: Freitag, 28.04.2000, 12.00 Uhr

Aufgabe 1 (4 Punkte): Man berechne die Ableitung von

F (x) := \begin{cases}x\sqrt{x} sin \frac{1}{x} & x > 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}

auf dem Intervall [0; ∞) und zeige, dass F′ auf keinem Intervall [0; b], b > 0, Riemann-integrierbar ist. Wieso ist dies kein Widerspruch zum Fundamentalsatz?

Aufgabe 2 (5 Punkte): Man berechne die folgenden Integrale:

a) ∫_{0}^{x} u^{2}e^{2u} du

b) ∫_{0}^{x} arctan u du

c) ∫_{0}^{x} \frac{d}{dy} sin^{2}(y + \sqrt{2}) dy.

Aufgabe 3 (7 Punkte): Bestimmen Sie mittels Partialbruchzerlegung:

a) ∫ \frac{x + 1}{x^{4} − x^{3} − x + 1} dx,

b) ∫ \frac{x + 2}{x^{6} + x^{4} − x^{2} − 1} dx.

Aufgabe 4 (∗):(2. Mittelwertsatz von Bonnet) Seien f : [a; b] → ℝ monoton auf [a; b] und f′, g : [a; b] → ℝ stetig auf [a; b]. Dann existiert ein ξ ∈ [a; b], so dass

∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(a) ∫_{a}^{ξ} g(x) dx + f(b) ∫_{ξ}^{b} g(x) dx.

Aufgabe 5 (4 Punkte): (Bimolekülreaktion) Zwei Ausgangsstoffe haben zur Zeit t = 0 die Konzentrationen a bzw. b gemessen in \frac{Mol}{l}. Dabei sei o.B.d.A. 0 < a < b. Nun sei x(t) die Konzentration des durch chemische Reaktion aus den beiden Ausgangsstoffen entstehenden Reaktionsproduktes zur Zeit t. Dabei habe zur Zeit t = 0 noch keine Reaktion stattgefunden. Im einfachsten Fall (Reaktionsprodukt enthält je ein Molekül der Ausgangsstoffe) erfüllt x(t) nach dem Massenwirkungsgesetz die Gleichung

\frac{d}{dt}x(t) = k (a − x(t)) (b − x(t)) ,  (1)

d. h. die Reaktionsgeschwindigkeit ist proportional zum Produkt der Konzentrationen der Ausgangsstoffe. Gleichung (1) ist eine Differentialgleichung für x(t). Differentialgleichungen treten in den naturwissenschaftlichen Anwendungen sehr häufig auf, werden in größerem Rahmen aber erst in Analysis III behandelt.

Für 0 < x < a ist die rechte Seite von (1) positiv, also x(t) streng monoton wachsend. Deshalb besitzt x(t) dort eine Umkehrfunktion t(x). Für diese gilt (Ableitung der Umkehrfunktion)

\frac{d}{dx}t(x) = \frac{1}{k (a − x) (b − x)} .  (2)

Bestimmen Sie die Funktion t(x). Wie hat man dabei die Integrationskonstante zu wählen, um sie den Versuchsgegebenheiten anzupassen? Was ergibt sich für die eigentlich gesuchte Funktion x(t)? Verifizieren Sie Ihr Ergebnis, indem Sie überprüfen, ob Ihre Lösung (1) erfüllt.