FÜR MATHEMATIK
Analysis und Zahlentheorie
Prof. Dr. A. Krieg
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LEHRSTUHL
A FÜR MATHEMATIK Analysis und Zahlentheorie Prof. Dr. A. Krieg |
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In diesem Seminar soll untersucht werden, welche Aussagen für Funktionen einer komplexen bzw. mehrerer reeller Variablen auf Funktionen mehrerer komplexer Variablen übertragen werden können und was für Funktionen mehrerer komplexer Variablen anders ist. Es geht dabei u.a. um komplexe Differenzierbarkeit, Potenzreihen, Cauchy-Theorie und holomorphe Fortsetzbarkeit. Neu ist die Untersuchung der Holomorphiegebiete.
Es sind noch Vorträge zu vergeben (s.u.). Interessenten wenden sich bitte an Dipl.-Math. Ingo Klöcker (ingo.kloecker@mathA.rwth-aachen.de).
Das Seminar findet dienstags von 11.45-13.15 Uhr im Seminarraum des Lehrstuhls A für Mathematik (Raum 248 im Hauptgebäude) statt.
Die bei den Vorträgen angegebenen Nummern entsprechen den Abschnitten aus dem Buch von Range, welche durch den Vortrag abgedeckt werden sollen.
1. Vortrag (Ingo Klöcker):
Der komplexe Euklidische Raum und holomorphe
Funktionen. Die wichtigsten topologischen Begriffe werden eingeführt
und holomorphe Funktionen werden definiert. (I.1.1 und I.1.2 bis (1.11)
inkl.)
2. Vortrag (Wencke Hermanns):
Die Cauchysche Integralformel. Mit Hilfe der
Cauchyschen Integralformel werden einige einfache Aussagen über holomorphe
Funktionen hergeleitet. (I.1.2 ab (1.11) und I.1.3)
3. Vortrag (Marc Ensenbach):
Folgen holomorpher Funktionen. Zur Vorbereitung
des Potenzreihenbegriffs werden Folgen holomorpher Funktionen untersucht.
(I.1.4 und I.1.5 bis La. 1.15)
4. Vortrag (Michael Hentschel):
Potenzreihen, Taylor-Entwicklung und der Identitätssatz.
Die Konvergenz von Potenzreihen wird untersucht und es wird gezeigt,
dass jede holomorphe Funktion lokal durch eine konvergente Potenzreihe
dargestellt werden kann. (I.1.5 ab La. 1.15 und I.1.6)
5. Vortrag (Jens Hansen):
Holomorphe Abbildungen. Der Begriff der holomorphen
Abbildung (Cn -> Cm) wird
eingeführt, die Kettenregel und der Satz der impliziten Funktionen wird
bewiesen und biholomorphe Abbildungen werden untersucht. (I.2.1 bis I.2.4)
6. Vortrag (Prof. S. Walcher):
Holomorphe Fortsetzungen und Laurentreihen.
Die holomorphe Fortsetzbarkeit mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel
und die Darstellbarkeit von holomorphen Funktionen durch Laurentreihen
wird untersucht. (II.1.1 und II.1.2)
7. Vortrag (Prof. S. Walcher):
Fortsetzung durch Potenzreihen, Holomorphiegebiete
und Hartogs'sche Pseudokonvexität. Nach einer Untersuchung der holomorphen
Fortsetzbarkeit mit Hilfe von Potenzreihen werden die Begriffe des
Holomorphiegebiets und der Hartogs'schen Pseudokonvexität eingeführt.
(II.1.3 bis II.2.2)
8. Vortrag (noch zu vergeben):
Gebiete mit glattem Rand, Konvexität und holomorphe
Kurven. Zur Vorbereitung auf die Levische Pseudokonvexität werden
einige Begriffe eingeführt und es wird eine für Hartogs-pseudokonvexe
Gebiete analoge Aussage zur Tatsache, dass es bei konvexen Gebieten
keine Geraden gibt, die durch einen Randpunkt gehen und vollständig
in dem Gebiet enthalten sind, gezeigt. (II.2.3 bis II.2.5)
9. Vortrag (noch zu vergeben):
Levische Pseudokonvexität. Die Levische Pseudokonvexität
wird definiert und untersucht. Insbesondere wird gezeigt, dass jedes
Holomorphiegebiet mit glattem Rand Levi-pseudokonvex ist. (II.2.6)
10. Vortrag (noch zu vergeben):
Lineare Konvexität und Holomorphiekonvexität.
Die lineare Konvexität und die Holomorphiekonvexität werden definiert
und untersucht. Unter anderem wird gezeigt, wie unbeschränkte, holomorphe
Funktionen konstruiert werden können und wie sich holomorph-konvexe
Gebiete einfach identifizieren lassen. (II.3.1 und II.3.2)
11. Vortrag (noch zu vergeben):
Beispiele holomorph-konvexer Gebiete und die
Konstruktion singulärer Funktionen. Zunächst sollen ein paar Beispiele
holomorph-konvexer Gebiete vorgestellt werden. Insbesondere wird gezeigt,
dass analytische Polyeder holomorph-konvex sind und dass beliebige
holomorph-konvexe Gebiete durch analytische Polyeder approximiert
werden können. Im zweiten Teil wird gezeigt, dass holomorph-konvexe
Gebiete Holomorphiegebiete sind. (II.3.3 und II.3.4)
12. Vortrag (noch zu vergeben):
Charakterisierung holomorph-konvexer Gebiete.
Es wird gezeigt, dass Holomorphiegebiete holomorph-konvex sind. Außerdem
wird die Fortsetzbarkeit von holomorphen Funktionen untersucht, die
nicht auf einem Holomorphiegebiet definiert sind. (II.3.5 und II.3.6)
Grauert, H., Fritzsche, K.:
Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher.
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1974.
Grauert, H., Fritzsche, K.:
Several Complex Variables.
Springer-Verlag, New York, 1976.
Hörmander, L.:
An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.
D. Van Nostrand Company, Princeton, 1966.
Narasimhan, R.:
Several Complex Variables.
The University of Chicago Press, Chicago, 1971.
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