#                      MAPLE fuer ANALYSIS 
#                RWTH -Aachen, Wintersemester 1997/98
#                         E. Goerlich
#
# Maple -Input von Kapitel 6:

# Kapitel 6: Ungleichungen und dreidimensionale Bilder
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# Nochmals zur Bernoulli-Ungleichung aus Aufgabe 4.2:
# Aufgabe 4.2: Man beweise durch vollst"andige Induktion:
# a) (1+a)^n>=1+n*a, a>=-1,n = 1,2,3,.... ,
# b) (1+a)^n>=1+n*a+n*(n-1)*a^2/2,a>=0,n = 1,2,3,.... ,
# c) (1+a)^n<=1+(2^n-1)*a,0<=a,a<=1, n = 1,2,3,.... .
# 
# ZIEL:
# Diese Ungleichungen sollen anschaulich dargestellt werden in Form
# einer Durchdringung von drei Fl"achen im Raum. Dabei ergibt sich ohne
# M"uhe, dass dies drei Spezialf"alle aus insgesamt sechs
# Ungleichungspaaren sind. Weiter ist aus dem Bild unmittelbar ablesbar,
# welche der Ungleichungen f"ur welche a,n besser ist. 
# Brauchbare Bilder entstehen meist nicht von selbst. Siehe zun"achst
> ?plot3d
# Wir ersetzen in der Ungleichung a) von Aufgabe 4.2 das n durch x und
# stellen die Differenz der beiden Seiten als Funktion von a und x im
# dreidimensionalen Raum dar.
> plot3d((1+a)^x-1-x*a,a=-1..3, x=0..5);
# Grafik manipulieren:
# Vergr"ossern, drehen, .. redraw.
# Dann Anwenden der "plot3d,options":
# axes, shading, style, view,orientation,
# damit Maple das Bild in der gew"unschten Ansicht produziert.
> plot3d((1+a)^x-1-x*a,a=-1..3, x=0..5,
> axes=boxed,shading=zgreyscale,style=patch,
> view=0..5,orientation=[-142,53]);
# Durch "view=0..5" wurde bewirkt, dass negative Werte nicht erscheinen.
# Es sieht so aus, als ob die Differenzfunktion auf dem Streifen {
# ((a,x);) ; a<=-1 , 0<=1 , x<=1} kleiner oder gleich Null sei. Pr"ufe
# dies nach mit "view=-1..0":
> plot3d((1+a)^x-1-x*a,a=-1..3, x=0..5,
> axes=boxed,shading=zgreyscale,style=patch,
> view=-1..0,orientation=[-142,53]);
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# Genaueres Hinsehen: Vermutlich gilt Ungleichung 4.2 a) auch noch f"ur
# x<=0, a>=-1. Probe dazu:
> plot3d((1+a)^x-1-x*a,a=-1..3, x=-4..5,
> axes=boxed, shading=zgreyscale, style=patch,
> view=0..5,orientation=[-142,53]);
# ==========================================
# Also sollte folgende Erg"anzung zur Bernoulli--Ungleichung
# richtig sein:
#  (1+a)^x>=1+x*a ; falls  a>=-1, x>=1 oder x<=0
#  (1+a)^x<=1+x*a : falls  a>=-1, x>=0 oder x<=1.
# Damit haben wir bereits eine neue Ungleichung gefunden.
# Versuche nun, auch die Ungleichung 4.2 c) auf den gr"osseren Bereich
# fortzusetzen.
# Darstellung von drei Fl"achen im gleichen Bild:
# Entweder plot3d([list],   ); (ungeeignet)
> plot3d([(1+a)^x,1+x*a,1+(2^x-1)*a] ,a=-1..3, x=-2..3,
> grid=[40,50],style=[patchnogrid,line,contour],color={black,red,green},
> orientation=[-111,63], view=-2..5);
Error, (in plot3d/options3d) invalid plot style, [patchnogrid, line,
contour]
> plot3d({(1+a)^x,1+x*a,1+(2^x-1)*a} ,a=-1..3, x=-2..3,
> grid=[40,50],color={black,red,green},orientation=[-111,63],
> view=-2..5);
Error, (in plot3d/color) incorrect color specification
> plot3d({(1+a)^x,1+x*a,1+(2^x-1)*a} ,a=-1..3, x=-2..3,
> grid=[40,50],orientation=[-111,63], view=-2..5);
# oder:
> ?display3d
# Wir m"ussen "plot structures" erzeugen und das "plots-package" laden.
> with(plots):
# W"ahle folgende Texturen der Fl"achen:
#   i) (1+a)^x                 zgreyscale, patchnogrid,
#  ii) 1+x*a                   line, black
# iii) 1+(2^x-1)*a        contour, black
# Das Erzeugen der Plot--Strukturen, die wir F(i), F(ii), F(iii) nennen,
# geschieht so:
> F(i) := plot3d((1+a)^x, a=-1..3, x=-2..3, shading=zgreyscale, style= 
> patchnogrid, grid=[40,50]): F(ii) := plot3d(1+x*a, a=-1..3, x=-2..3, 
> style=line, color=black, grid=[40,50]): F(iii) := plot3d(1+(2^x-1)*a, 
> a=-1..3, x=-2..3, style=contour, color=black, contours=50,
> grid=[40,50]):
# Die Optionen f"ur Orientierung (=orientation), Form des 
# Koordinatensystems (hier=boxed) und H"ohenausschnitt (=view) und das
# Zusammensetzen der Grafiken werden im folgenden Befehl ausgef"uhrt:
> display3d(F(i),F(ii),F(iii), axes=boxed,
> orientation=[-111,63], view=-2..5);
# Farbig:
> F(i) := plot3d((1+a)^x, a=-1..3, x=-2..3, shading=zgreyscale, style=  
> patchcontour, grid=[40,50]): F(ii) := plot3d(1+x*a, a=-1..3, x=-2..3, 
> style= line, color=black, grid=[40,50]): F(iii) := plot3d(1+(2^x-1)*a,
> a=-1..3, x=-2..3, style= patchnogrid, shading=zhue, grid=[40,50]):   
> display3d(F(i),F(ii),F(iii), axes= boxed, orientation=[-111,63],
> view=-2..5);
# Drehen: Blick von oben zeigt neun verschiedene Teilbereiche:
# i): grau mit H"ohenlinien
# ii): Gitter
# ii): bunt
# Ergebnis, schematisch:
# 
#  ii)>=iii), i)>=ii)   |   i)>ii), iii)>=i)        | iii)>=ii),i)>=iii)
# 
# ----------------- |------------------- |-----------------
#  ii>=i, ii<=iii         |  iii<=i, i<=ii           | i<=iii, iii<=ii
# ----------------- |------------------- |-----------------
#   ii)>=iii), i)>=ii)  |   i)>ii), iii)>=i)        | 
# iii)>=ii),i)>=iii)
# u.s.w. 
# Vgl. Skript, S. 50.
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# Test der Ergebnisse anhand der numerischen Werte:
# Verwendung von "arrays".
> F1:=(a,x)->evalf((1+a)^x);
> F2:=(a,x)->evalf(1+x*a);
> F3:=(a,x)->evalf(1+(2^x-1)*a);
> F123:=(a,x)->[F1(a,x),F2(a,x),F3(a,x)];
# Obere Reihe:
> F123(-1/2,3/2);F123(1/2,3/2);F123(3,3/2);
# Zweite Reihe von oben:
> F123(-1/2,1/2);F123(1/2,1/2);F123(3,1/2);
# Dritte:
> F123(-1/2,-1/2);F123(1/2,-1/2);F123(3,-1/2);