#                      MAPLE fuer ANALYSIS 
#                RWTH -Aachen, Wintersemester 1997/98
#                         E. Goerlich
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# Maple -Input von Kapitel 7:
 
# Kapitel 7
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# Induktionsbeweis: Besselpolynome 
# Aufgabe 7.1.
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# Man beweise durch vollst"andige Induktion:
# Die Bessel--Polynome Theta[n](x), die sukzessive definiert sind durch
# Theta[0](x)=1 , Theta[1](x)=1+x , Theta[2](x)=x^2+3*x+3 , . .
# .(2*n+1)*Theta[n](x)+x^2*Theta[n-1](x)-Theta[n+1](x)=0 
# f"ur nat"urliches n, haben die explizite Darstellung
# Theta[n](x)=sum((n+1)!*x^(n-m)/2^m/(n-m)!/m!, m=0..n .
# 
> Theta:=n->sum((n+m)!*x^(n-m)/(2^m*(n-m)!*m!),
> m=0..n);
# Induktionsanfang: n=0 und n=1
> 1-Theta(0);
> 1+x-Theta(1);
# Erster Versuch, den Induktionsschritt durchzuf"uhren:
> (2*n+1)*Theta(n)+x^2*Theta(n-1)-Theta(n+1);
> simplify(");
> readlib(hypergeom):
> simplify("",hypergeom);
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# FEHLERSUCHE
> a:=(m,n)->(n+m)!*x^(n-m)/(2^m*(n-m)!*m!);
> (2*n+1)*a(m,n)+x^2*a(m+1,n-1)-a(m+1,n+1);
> simplify(");
> ?sum
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# Anf"uhrungsstriche.
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# string quotes:        `string`
#  Beispiel:
> x:=`test 3 4`;
> x;
# unevaluation quotes: 'expr'   
# Beispiel: 
> x:=3;
> x;
> x:='x';
> x;
# Double quotes: "
# Neudefinition von Theta mit uneval.-quotes:
> Theta:=n->sum('(n+m)!*x^(n-m)/(2^m*(n-m)!*m!)
> ','m'=0..n);
> (2*n+1)*Theta(n)+x^2*Theta(n-1)-Theta(n+1);
> assume(m,posint);
> m;
> about(m);
# L"osung von Aufgabe 7.1:
> Theta:=n->sum('(n+m)!*x^(n-m)/(2^m*(n-m)!*m!)
> ','m'=0..n);
> (2*n+1)*Theta(n)+x^2*Theta(n-1)-Theta(n+1);
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# Weiteres zu "assume, posint, natural"
> ?assume
# ... most type names....
> ?type
# Einen "type" natural gibt es nicht, wohl einen "type" posint
# Am besten vermeidet man die Verwendung von "natural" und benutzt
# stattdessen "posint"!
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# L"oschen von Annahmen:
> about(m);
> m:='m';
> about(m);
# Eingabe einer Annahme in zwei Schritten: Die zweite Annahme ist mit
# "additionally" einzugeben.
> assume(m, integer); additionally(m,positive);
> about(m);
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# Ursachenforschung.
> ?hypergeom
> ?convert,hypergeom