# ZUSATZ zu KAPITEL 12/13. 
# (REKURSIVE FOLGEN)
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# Einige weitere Beispiele aus "Ubung 6.
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# Aufgabe 8:
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#  a[1]=0 , a[n+1]=1/(4-3*a[n]) , n=1,2,3,...
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# Verfahren nach Kap. 13:
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> restart;
> rsolve({a(1)=0,a(n+1)=1/(4-3*a(n))},a(n));
> asympt(",n);
> limit(",n=infinity);
# Verfahren nach Kap.12:
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> b:= proc(n) local j, result; result:=0; for j from 2 to n do
> 1/(4-3*result); result:="; od end;
> b(1);
> seq(evalf(b(k)),k=2..10);
> solve(a=1/(4-3*a),a);
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# "Ubung 6, Aufgabe 9 b).
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#  a(1)=1, a(n+1)=sqrt(1+a[n]^2/n) , n=1,2,...
# 
# Verfahren nach Kap. 13:
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> rsolve({a(1)=1, a(n+1)=sqrt(1+a(n)^2/n)}, a(n));
> asympt(",n);
Error, (in asympt) unable to compute series
# 
# Verfahren nach Kap. 12:
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> c:=proc(n) local j, result; result:=1; for j from 2 to n do
> sqrt(1+result^2/j); result:="; od end;
> c(1);
> seq(evalf(c(k)),k=2..10);
# Der zweite der folgenden beiden Befehle braucht zuviel Zeit:
# unterbrechen!
> evalf(c(100));evalf(c(1000));
Warning, computation interrupted
# Mit "evalhf" geht es schneller:
> cc:=proc(n) local j, result; result:=1; for j from 2 to n do
> evalhf(sqrt(1+result^2/j)); result:="; od end;
> cc(100); cc(1000);cc(10000);cc(100000);
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# Aufgabe 7.
# Eine Rekursion mit zwei Ver"anderlichen.
# Arithmetisch-geometrisches Mittel.
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# Verfahren nach Kap. 13.
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#  a(1)=a , b(1)=b , a(n+1)=sqrt((a(n)*b(n)) , b(n+1)=(a(n)+b(n))/2 .
> ?rsolve
# Im Prinzip kann "rsolve" mehrere Ver"anderliche behandeln, aber nur
# lineare Gleichungen.
> rsolve({a(1)=a,b(1)=b,a(n+1)=sqrt(a(n)*b(n)),b(n+1)=(a(n)+b(n))/2},{a(
> n),b(n)});
> asympt(",n);
Error, (in asympt) unable to compute series
# Verfahren nach Kap. 12.
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> AG:=proc(n,a,b) local resultA, resultB, j; resultA:=a;resultB:=b;for j
> from 2 to n do sqrt(resultA*resultB); (resultA+resultB)/2;resultA:="";
> resultB:=""; od ; [resultA, resultB]; end;
> AG(1,a,b);
> AG(2,a,b);
> AG(3,a,b);AG(4,a,b);AG(5,a,b);
# Spezialfall a=b=1:
> seq(evalf(AG(n,1,1)),n=2..10);
> AG(40,1,1);
> AG(40,1/2,1/2);
# Spezialfall a=b:
> AG(3,a,a);AG(4,a,a);AG(5,a,a);
> simplify(AG(5,a,a));
> assume(a>0);
> simplify(AG(5,a,a));
> AG(5,a,a)[1];
> seq(simplify(AG(j,a,a)[1]),j=3..5);
> a:='a';
> about(a);
> limit('AG(n,1/4,1/3)[1]','n'=infinity);
Error, (in AG) unable to execute for statement
# Die triviale L"osung findet Maple:
> solve({a=sqrt(a*b),b=(a+b)/2},{a,b});
# Dasselbe Programm mit numerischer Ausgabe:
> AGnum:=proc(n,a,b) local resultA, resultB, j;
> resultA:=a;resultB:=b;for j from 2 to n do
> evalhf(sqrt(resultA*resultB));
> evalhf((resultA+resultB)/2);resultA:="";
> resultB:="";[resultA,resultB]; od end;
> seq(AGnum(j,1/4,1/3),j=2..5);
> seq(AGnum(j,1/4,6),j=2..7);
# Literatur:
# Abramowitz-Stegun: Handbook of Mathematical Functions. 
#                                   Dover 1965, S.598, 
#                                   #17.6, Ellpitische Integrale.       
#                        
# Fichtenholz: Differential - und Integralrechnung I, 
#                      Dt. Verlag d. Wiss., 1966, # 35, S. 61 
#                      Band II, # 315.
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# Der gemeinsame Grenzwert mu der Folgen (a[n] ) und (b[n] )
# erf"ullt G=Pi/(2*mu). Dabei ist G das folgende Elliptische Integral:
# (Wir w"ahlen feste Werte f"ur a und b.)
> a:=1/4;b:=1/3;
> Int(1/sqrt((a*cos(t))^2+(b*sin(t))^2),t=0..Pi/2)=int(1/sqrt((a*cos(t))
> ^2+(b*sin(t))^2),t=0..Pi/2);
> evalf(");
# Probe: Es sollte gelten mu=pi/(2*G) .
> G:=rhs(");
> evalf(Pi/(2*G));
#  Stimmt !