LEHRSTUHL A FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. E. Görlich
                                                                         Wintersemester 99/00 
                                                                                   3. 2. 2000
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5) Zur Probeklausur, 
    Aufgabe 2
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Fuer welche (x,y) gilt abs(x+y) <= max(abs(x), abs(y)); ?

Wir versuchen, graphisch eine Loesung zu finden, indem wir die beiden Funktionen abs(x+y); und max(x,y); gemeinsam plotten.
> restart;
> ?max
> f:=(x,y)->abs(x+y);
> g:=(x,y)->max(abs(x),abs(y));
> plot3d({f,g}, -3..3,-3..3,axes=boxed);
Es waere sinnvoll, die beiden Flaechen durch unterschiedliche Farben etc. zu markieren. In dieser Form des Bildes ist das nicht moeglich.
Man kann aber zwei separate Bilder erzeugen, diese zu sogenannten
"plot3d structures" machen und sie mittels "display3d" zu einem gemeinsamen Bild zusammenfuegen.
> ?structure
> ?display3d
> ?plot3d[options]
> F:=plot3d(f, -3..3,-3..3,axes=boxed,style=patch,color=red):
Test, ob tatsaechlich eine Plot-Struktur entstanden ist:
(Zu beachten: Es gibt PLOT structures und PLOT3D structures)
> type(F,PLOT);type(F,PLOT3D);
Eine Plot-Struktur laesst man i.a. nicht auf dem Bildschirm erscheinen:
> G:=plot3d(g, -3..3,-3..3,axes=boxed,style=patch,color=green);
Der Befehl "display3d" gehoert zum "plots-package" und muss zuerst
geladen werden mittels des Befehls "with":
> with(plots):display3d(F,G);
Hier bieten sich nun viele andere Moeglichkeiten an:
> ?plot3d[options]
Man kann zum Beipiel eine der Flaechen als durchsichtiges "Drahtgitter"
mit Hoehenlinien ("contours") darstellen:
> F1:=plot3d(f, -3..3,-3..3,axes=boxed,style=patchnogrid,shading=zhue):
> G1:=plot3d(g, -3..3,-3..3,axes=boxed,style=contour,contours=40,color=black):
> display3d(F1,G1);
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Aufgabe 4, (3):
Fuer z <> -1; sei w = (1-z)/(1+z); . Man zeige w <> -1; und berechne (1-w)/(1+w); .
>  w:=(1-z)/(1+z);
> evalc((1-w)/(1+w));
> normal(%);
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Zu Uebung 14, A4.
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(1) Man zeige: Fuer reelle x ist 1+x <= exp(x); .
(2) Aus (1) und der Funktionalgleichung des Logarithmus folgere man
fuer 0 < x; und natuerliches n:
> x*(1-1/(x^(1/n))) <= log(x); , log(x) <= n*(x^(1/n)-1); .
Zu (1):
> plot([1+x,exp(x)],x=-1..3);
> expand(exp(x+h));
Zum Begriff "Liste":
> ?list
Will man mehrere Objekte zusammenfassen, wobei identische Objekte
zugelassen sein sollen und die Reihenfolge fest bleiben soll, so verwende man Listen [...] anstelle von Mengen {...}.
> [1,1,1,2,3,4];
Zu (2):
> n:=3;plot([n*(1-1/x^(1/n)),log(x),n*(x^(1/n)-1)], x=0..10,color=[red,black,green]);
> n:=10;plot([n*(1-1/x^(1/n)),log(x),n*(x^(1/n)-1)], x=0.5..10,color=[red,black,green]);
> n:='n';
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Zu Uebung 14, Aufgabe 5 (1).
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Fuer reelle x,y mit der Eigenschaft, dass x, y, x+y nicht von der Form
> (k+1/2)*Pi; mit ganzzahligem k sind, zeige man:
> tan(x+y)=expand(tan(x+y));
Gueltigkeitsbereich dieser Formel: Ist dem "Anwender" ueberlassen!
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Zu Uebung 14, Aufgabe 5 (2).
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Darstellungen fuer die Umkehrfunktionen von (Restriktionen von) 
cosh, sinh, tanh.
> plot(cosh, 0..10);
> plot(cosh,-2..2);
Als Grenze fuer einem Plot ist "Unendlich" erlaubt.
Siehe
> ?plot
> ?plot[range]
> ?plot[infinity]
> plot(cosh,0..infinity);
> plot(sinh,-5..5);
> plot(tanh,-1..1);
> plot(tanh,-2..2);
Wie schreibt Maple die Umkehrfunktion von cosh?
> ?cosh
> ?invfunc
> cosh@@(-1);
> ?@@
> convert(arccosh(x),ln);
> convert(arcsinh(x),ln);
> convert(arctanh(x),ln);
Zu beachten: Maple gibt keinen expliziten Hinweis darauf, dass 
die mit "convert" erhaltenen Ergebnisse evtl. nur unter Zusatzbedingungen an x richtig sind! 
> simplify(%);
> simplify(%,ln);
> ?simplify
> combine(%,ln);
> 
> assume(x>-1);additionally(x<1);
> combine(%,ln);