Marc Ensenbach Aachen, den 10. Dezember 2001

Übungen zur 1. Klausur zur Analysis I

Aufgabe 1 (2 Punkte) Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(1) A = ∅

(2) Für alle Mengen B ist A \ B = A ∩ B

(3) Es gibt eine Menge B mit A \ B = A ∩ B

Aufgabe 2 (3 Punkte)

Man zeige durch vollständige Induktion: ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 − \frac{1}{n + 1} für alle n ∈ ℕ.

Aufgabe 3 (2 Punkte) Sei M ⊂ ℝ nach unten beschränkt und −M := {−x | x ∈ M}. Man zeige: sup(−M) = − inf M.

Aufgabe 4 (3 Punkte) Man zeige: f : X → Y ist genau dann injektiv, wenn für alle Mengen Z und Abbildungen g, h : Z → X mit f ∘ g = f ∘ h bereits g = h folgt.

Aufgabe 5 (4 Punkte)

Man zeige: A := {x ∈ ℝ | ∃ n ∈ ℕ_{0}, a_{0}, …, a_{n} ∈ ℚ : ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} = 0, a_{n} ≠ 0} ist abzählbar.

Aufgabe 6 (5 Punkte)

Man zeige: f : H → ℂ, z ↦ \frac{z − i}{z + i} mit H = \{z ∈ ℂ | Im z > 0\} ist injektiv mit

f(H) = {z ∈ ℂ | |z| < 1} =: K.

Aufgabe 7 (2+2 Punkte) Man zeige mit Hilfe der Definition:

a) a_{n} = \frac{n^{2} − n + 2}{3n − 1} ⟶_{n→∞} ∞

b) a_{n} = \sqrt{n^{2} + n} − n ⟶_{n→∞} \frac{1}{2}

Aufgabe 8 (2+1+2+2 Punkte) Man bestimme die Grenzwerte folgender Folgen oder zeige ihre Divergenz:

a) a_{n} = (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n}

b) a_{n} = \sqrt[2n]{n}

c) a_{n} = \frac{(−3)^{n} + n}{3^{n}}

d) a_{n} = \binom{2n}{n}\frac{1}{2^{n}}

Aufgabe 9 (5 Punkte) Man untersuche die durch a_{1} = 1, a_{n} = 1 + \frac{1}{a_{n}} rekursiv definierte Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert.

Aufgabe 10 (4 Punkte)

Man bestimme lim sup_{n→∞} a_{n} mit a_{n} = \frac{(−1)^{n}n + 1}{n} + (−1)^{\binom{n}{2}} und gebe eine Teilfolge von (a_{n})_{n} an,

die gegen diesen Wert konvergiert.

Aufgabe 11 (4 Punkte) Man untersuche M = \{x + \sqrt{x} | x ∈ (0; 1)\} auf Offenheit und Abgeschlossenheit.

Aufgabe 12 (1+1 Punkte)

a) Man gebe den Satz von Bolzano-Weierstraß in der Mengenversion an.

b) Man gebe die Definition eines isolierten Punktes an.