Aufgabe: Sei f : ℝ → ℝ stetig und es gebe ein c > 0 mit f(x + c) = f(x) für alle x ∈ ℝ (f sei also periodisch). Man zeige: f ist gleichmäßig stetig.

Lösung: Sei ε > 0. Da f|_{[0;2c]} eine stetige Funktion auf einem Kompaktum ist, ist sie gleichmäßig stetig. Es existiert daher ein δ > 0 mit |f(x) − f(y)| < ε für alle x, y ∈ [0; 2c] mit |x − y| < δ, o. B. d. A. sei δ < c. Seien nun x, y ∈ ℝ mit |x − y| < δ, o. B. d. A. sei y ⩾ x. Dann ist 0 ⩽ x′ = x − [\frac{x}{c}]c < c und 0 ⩽ y′ = y − [\frac{x}{c}]c < x + δ − [\frac{x}{c}]c < c + δ < 2c, also x′, y′ ∈ [0; 2c]. Aufgrund der Periodizität von f gilt |f(x) − f(y)| = |f(x′) − f(y′)|, und da y′ − x′ = y − [\frac{x}{c}] − (x − [\frac{x}{c}]c) = y − x < δ ist, gilt |f(x′) − f(y′)| < ε, also ist f nach Definition gleichmäßig stetig.