\documentclass[12pt,fleqn,leqno]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}      % um Umlaute direkt eingeben zu können 
\usepackage{ngerman}               % Sprachdefinition Deutsch - Neue Rechtschreibung
\usepackage{amsmath}               % erweiterte Konstrukte für Mathematiksatz
\usepackage{amssymb}               % erweiterter mathematischer Symbolvorrat
\usepackage{amsfonts}              % erweiterter Schriftenvorrat für Mathematiksatz
\usepackage{enumerate}             % für flexiblere Nummerierungen
\usepackage{array}                 % für komfortable Tabellen
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% Festlegung der Seitenränder
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm}

% Festlegung der Kopf-/Fußzeile
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Lösung zur 1. Klausur zur Analysis I}
\rhead{Marc Ensenbach}

\setlength{\parindent}{0cm} % verhindert Einrücken der ersten Zeile im Abschnitt

% Abkürzungen für häufig benutzte Befehle
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\N}{\mathds{N}} % Mengensymbole
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds{Q}}
\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}
\newcommand{\rk}[1]{\left( #1 \right)}    % Klammern in angepasster Größe
\newcommand{\ek}[1]{\left[ #1 \right]}
\newcommand{\gk}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\sk}[1]{\left< #1 \right>}
\newcommand{\Sum}{\displaystyle \sum}   % für große Summenzeichen auch in $...$ 
\newcommand{\ksum}{\textstyle \sum}     % für kleine Summenzeichen auch in \[...\]
\newcommand{\Frac}{\displaystyle \frac}
\newcommand{\kfrac}{\textstyle \frac}
\newcommand{\imp}{\Rightarrow}      % Pfeile
\newcommand{\aeq}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\gw}[1][n]{\underset{#1 \to \infty}{\lim}}  % Grenzwertsymbole
\newcommand{\kgt}[1][n]{\underset{#1 \to \infty}{\longrightarrow}}

% Umdefinition von vorhandenen Befehlen
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\rho}{\varrho}
\renewcommand{\leq}{\leqslant} % Kleiner/gleich-Zeichen mit schrägem Strich 
\renewcommand{\geq}{\geqslant}  
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Bezeichnung für Real-/Imaginärteil nach Vorlesung
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % als Operator (nicht kursiv gesetzt)

% Umgebungen
\newenvironment{einrmath}{
  \[\setlength{\arraycolsep}{0.05cm}\begin{array}{ll}
}{
  \end{array}\] \\
}

\begin{document}
\title{Lösung zur 1. Klausur zur Analysis I}
\author{Marc Ensenbach}
\maketitle

\textbf{Aufgabe 1} (3+4+4 Punkte)
\begin{enumerate}[a)]
% Aufgabe 1a)
\item Zeigen Sie, dass für alle $n \in \N$ gilt:
\[
\Sum_{k=1}^n \Frac{k}{2^k} = \Frac{2^{n+1} - n - 2}{2^n}.
\]
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\ % Trennlinie der Länge 4cm
(IA) $n=1$: $\Sum_{k=1}^1 \Frac{k}{2^k} = \Frac{1}{2} = \Frac{2^2 - 1 - 2}{2^1}$. \\
(IV) Sei $n \in \N$ und gelte die Behauptung für dieses $n$. \\
(IS) Es gilt 
\begin{einrmath}
\Sum_{k=1}^{n+1} \Frac{k}{2^k} & = \Sum_{k=1}^n \Frac{k}{2^k} + \Frac{n+1}{2^{n+1}} %%@
\overset{\text{(IV)}}{=} \Frac{2^{n+1} - n - 2}{2^n} + \Frac{n+1}{2^{n+1}} = \Frac{2 \cdot %%@
2^{n+1} - 2 n - 2 \cdot 2 + n + 1}{2^{n+1}} \\[8\jot]
& = \Frac{2^{(n+1)+1} - (n+1) - 2}{2^{n+1}}, 
\end{einrmath}
was die Behauptung für $n+1$ ist. Mit dem Induktionsprinzip folgt die Behauptung.
% Aufgabe 1b)
\item Zeigen Sie, dass für alle $n \in \N$ gilt: 
\[
\Sum_{k=1}^{2n} \Frac{(-1)^{k+1}}{k} = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}.
\]
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
(IA) $n=1$: $\Sum_{k=1}^{2 \cdot 1} \Frac{(-1)^{k+1}}{k} = \Frac{1}{1} - \Frac{1}{2} = %%@
\Frac{1}{2} = \Sum_{k=1+1}^{2 \cdot 1} \Frac{1}{k}$. \\
(IV) Sei $n \in \N$ und gelte die Behauptung für dieses $n$. \\
(IS) Es gilt
\begin{einrmath}
\Sum_{k=1}^{2(n+1)} \Frac{(-1)^{k+1}}{k} & = \Sum_{k=1}^{2n} \Frac{(-1)^{k+1}}{k} + %%@
\Frac{(-1)^{2n+2}}{2n+1} + \Frac{(-1)^{2n+3}}{2n+2} \overset{\text{(IV)}}{=} %%@
\Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k} + \Frac{1}{2n+1} - \Frac{1}{2n+2} \\[8\jot]
& = \Sum_{k=n+1}^{2n+1} \Frac{1}{k} - \Frac{1}{2n+2} = \Sum_{k=(n+1)+1}^{2n+1} \Frac{1}{k} %%@
+ \Frac{1}{n+1} - \Frac{1}{2n+2} \\[8\jot]
& = \Sum_{k=(n+1)+1}^{2n+1} \Frac{1}{k} + \Frac{1}{2n+2} = \Sum_{k=(n+1)+1}^{2(n+1)} %%@
\Frac{1}{k},
\end{einrmath}
was die Behauptung für $n+1$ ist. Mit dem Induktionsprinzip folgt die Behauptung.
% Aufgabe 1c)
\item Zeigen Sie, dass für alle $n \in \N$ gilt: 
\[
\Sum_{k=1}^n \Frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2 \sqrt{n} - 1. 
\]
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
(IA) $n=1$: $\Sum_{k=1}^1 \Frac{1}{\sqrt{k}} = 1 = 2 \sqrt{1} - 1$. \\
(IV) Sei $n \in \N$ und gelte die Behauptung für dieses $n$. \\
(IS) Es gilt 
\begin{einrmath}
\Sum_{k=1}^{n+1} \Frac{1}{\sqrt{k}} & = \Sum_{k=1}^n \Frac{1}{\sqrt{k}} + %%@
\Frac{1}{\sqrt{n+1}} \overset{\text{(IV)}}{\leq} 2 \sqrt{n} - 1 + \Frac{1}{\sqrt{n+1}}, 
\end{einrmath}
der Induktionsschluss ist also gezeigt, wenn bewiesen wurde, dass dieser Ausdruck %%@
kleiner/gleich $2 \sqrt{n+1} - 1$ ist: 
\begin{einrmath}
2 \sqrt{n} - 1 + \Frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2 \sqrt{n+1} - 1 & \aeq \\[4\jot]
2 \sqrt{n} \sqrt{n+1} - \sqrt{n+1} + 1 \leq 2 (n+1) - \sqrt{n+1} & \aeq \\[4\jot]
2 \sqrt{n (n+1)} + 1 \leq 2n + 2 & \aeq \\[4\jot]
2 \sqrt{n (n+1)} \leq 2n + 1.
\end{einrmath}
Diese Aussage ist immer gültig, da $n(n+1) = n^2 + n \leq n^2 + n + \frac{1}{4} = (n + %%@
\frac{1}{2})^2$, also wegen der Monotonie der Wurzelfunktion $2 \sqrt{n(n+1)} \leq 2 (n + %%@
\frac{1}{2}) = 2n + 1$ gilt. Mit dem Induktionsprinzip folgt nun die Behauptung. 
\end{enumerate}
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 2} (4 Punkte) \\
Es seien $x,y \in \R$. Zeigen Sie: Es gilt $|x+y| \leq \max\{|x|, |y|\}$ genau dann, wenn %%@
$xy \leq 0$ gilt. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es sei o. B. d. A. $x \geq 0$, ansonsten ersetze $x$ durch $-x$ und $y$ durch $-y$, ohne %%@
dass sich etwas an den zu betrachtenden Beträgen ändert. \\
1. Fall: $x = 0$. Dann ist $xy \leq 0$ und $|x+y| = |y| = \max\{|x|, |y|\}$. \\
2. Fall: $x > 0$ und $y > 0$. Dann ist $xy > 0$ und $|x+y| = x+y > \max\{x, y\} = %%@
\max\{|x|, |y|\}$. \\
3. Fall: $x > 0$ und $-x \leq y \leq 0$. Dann ist $xy \leq 0$ und $|x+y| = x - |y| \leq x = %%@
\max\{|x|, |y|\}$. \\
4. Fall: $x > 0$ und $y < -x$. Dann ist $xy \leq 0$ und $|x+y| = |y| - |x| \leq |y| = %%@
\max\{|x|, |y|\}$. \\
Mit dieser Fallunterscheidung ist die behauptete Äquivalenz bewiesen. \\
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 3} (4 Punkte) \\
Zeigen Sie: Für $z \in \C$, $z \neq 0$ gilt $\Im (z + \frac{1}{z}) = 0$ genau dann, wenn %%@
$\Im(z) = 0$ oder $|z| = 1$ ist. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $z = x + iy$ mit $x, y \in \R$. Dann gilt
\begin{einrmath}
\Im (z + \frac{1}{z}) = 0 & \aeq \\[2\jot]
\Im (x + iy + \frac{1}{x+iy}) = 0 & \aeq \\[2\jot]
\Im (x + iy + \frac{x-iy}{x^2 + y^2}) = 0 & \aeq \\[2\jot]
y - \frac{y}{x^2 + y^2} = 0 & \aeq \\[2\jot]
y x^2 + y^3 - y = 0 & \aeq \\[2\jot]
y = 0 \:\vee\: x^2 + y^2 - 1 = 0 & \aeq \\[2\jot]
\Im z = 0 \:\vee\: |z|=1.
\end{einrmath}
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 4} (4 Punkte) \\
Sei $M = \{\frac{1}{n} \:|\: n \in \N\}$. Bestimmen Sie die inneren Punkte, die %%@
Häufungspunkte und die isolierten Punkte von $M$. Ist $M$ offen oder abgeschlossen? \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Bestimmung der Häufungspunkte: \\
1. Fall: $x < 0$. Wähle $\eps = |x| > 0$. Da alle Elemente von $M$ größer als $0$ sind, %%@
liegen in $U_\eps(x) = (2x, 0)$ keine Punkte aus $M$. Damit ist $x$ kein Häufungspunkt. \\
2. Fall: $x = 0$. Da $0 \neq \frac{1}{n} \in M$ für alle $n \in \N$ und $\frac{1}{n} \kgt %%@
0$, ist $0$ ein Häufungspunkt von $M$. \\
3. Fall: $0 < x \leq 1$, $x = \frac{1}{n} \in M$. Wähle $\eps = \min\{\frac{1}{n} - %%@
\frac{1}{n+1}; \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\} > 0$, dann ist $U_\eps(x) \subset %%@
(\frac{1}{n+1}; \frac{1}{n-1})$. Da in $(\frac{1}{n+1}; \frac{1}{n-1})$ und damit auch in %%@
$U_\eps(x)$ keine von $x$ verschiedenen Punkte aus $M$ liegen, ist $x$ kein Häufungspunkt %%@
von $M$. \\
4. Fall: $0 < x \leq 1$, $x \notin M$. Wähle $n \in \N$ so, dass $\frac{1}{n+1} < x < %%@
\frac{1}{n}$. Setze nun $\eps = \min\{x - \frac{1}{n+1}; \frac{1}{n} - x\}$, was größer als %%@
$0$ ist. Dann liegt in $U_\eps(x)$ kein von $x$ verschiedener Punkt aus $M$, womit $x$ kein %%@
Häufungspunkt von $M$ ist. \\
5. Fall: $x > 1$. Wähle $\eps = x-1 > 0$. Da alle Elemente von $M$ kleiner/gleich $1$ sind, %%@
liegen in $U_\eps(x) = (1, 2x-1)$ keine Punkte aus $M$, womit $x$ kein Häufungspunkt von %%@
$M$ ist. \\
Man erhält damit insgesamt die Häufungspunktmenge $M' = \{0\}$. Da jeder innere Punkte von %%@
$M$ auch Häufungspunkt ist, kann höchstens $0$ ein innerer Punkt von $M$ sein. Da aber $0 %%@
\notin M$ gilt, ist $\overset{\circ}{M} = \emptyset$. Für die Menge der isolierten Punkte %%@
erhält man dann $M \setminus M' = M$, also sind alle Punkte aus $M$ isoliert. Da %%@
$\overset{\circ}{M} \neq M$ gilt, ist $M$ nicht offen, wegen $M' \not \subset M$ ist $M$ %%@
nicht abgeschlossen. \\
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 5} (4+3 Punkte) \\
Untersuchen Sie folgende Mengen auf Beschränktheit und bestimmen Sie gegebenenfalls %%@
Supremum und Infimum der Mengen.
\begin{enumerate}[a)]
% Aufgabe 5a)
\item $M = \gk{x \in \R \:\bigg|\: x = \Frac{1}{n+1} + \Frac{1 + (-1)^n}{2n}, n \in \N}$. %%@
\\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Wegen $0 \leq \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2}$ und $0 \leq \frac{1 + (-1)^n}{2n} \leq 1$ ist %%@
$M$ durch $0$ und $\frac{3}{2}$ beschränkt. \\
Zeige $\inf M = 0$: \\
(1) $0$ ist untere Schranke von $M$ nach Vorüberlegung. \\
(2) $0$ ist größte untere Schranke: Sei $\eps > 0$. Wähle $n \in \N$ mit $\frac{1}{n} < %%@
\eps$, dann ist $0 < \frac{1}{2n+2} < \frac{1}{n} < \eps$ und 
\[
\Frac{1}{2n+2} = \Frac{1}{2n+2} + \Frac{1 + (-1)^{2n+1}}{2(2n+1)} \in M,
\]
also folgt aus (1) und (2) die Behauptung. \\
Zeige $\sup M = \frac{5}{6}$: \\
(1) $\frac{5}{6}$ ist obere Schranke von $M$: Ist $n = 2m$, $m \in \N$, so gilt
\[
\Frac{1}{n+1} + \Frac{1 + (-1)^n}{2n} = \Frac{1}{2m+1} + \Frac{1 + (-1)^{2m}}{2(2m)} = %%@
\Frac{1}{2m+1} + \Frac{1}{2m} \leq \Frac{1}{2+1} + \Frac{1}{2} = \Frac{5}{6}.
\]
Ist $n = 2m-1$, $m \in \N$, so gilt 
\[
\Frac{1}{n+1} + \Frac{1 + (-1)^n}{2n} = \Frac{1}{2m-1+1} + \Frac{1 + (-1)^{2m-1}}{2(2m-1)} %%@
= \Frac{1}{2m} \leq \Frac{1}{2} \leq \Frac{5}{6}.
\]
(2) $\frac{5}{6}$ ist kleinste obere Schranke: $\frac{5}{6} = \frac{1}{2+1} + \frac{1 + %%@
(-1)^2}{2 \cdot 2} \in M$, also ist keine kleinere obere Schranke möglich. \\
Damit folgt aus (1) und (2) die Behauptung.    
% Aufgabe 5b)
\item $N = \gk{x \in \:\bigg|\: x = \dbinom{n}{k}, n, k \in \N, \kfrac{n}{2} \leq k \leq %%@
n}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Nach Vorlesung ist $N \subset \N$, also ist $1$ eine untere Schranke. Wegen $1 = %%@
\binom{1}{1} \in N$ ist $\inf N = 1$. \\
Für alle $n \in \N$ ist $n = \binom{n}{1} \in N$, also ist $N$ nicht nach oben beschränkt, %%@
womit $\sup N = \infty$ gilt. (Bemerkung: Es ist $N = \N$.)
\end{enumerate}
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 6} (4 Punkte) \\
Zeigen Sie: Ist $(a_n)_{n \geq 1}$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen und $\phi: \N %%@
\to \N$ injektiv, so ist auch $(a_{\phi(n)})_{n \geq 1}$ konvergent. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gelte $a_n \kgt a$ und es sei $\eps > 0$. Aufgrund der Konvergenz findet man ein $n' \in %%@
\N$ mit $|a_n - a| < \eps$ für alle $n \geq n'$. Setze $n_0 = \max \phi^{-1}(\{1, 2, %%@
\ldots, n'-1\}) + 1$, dann gilt für alle $n \geq n_0$, da $\phi$ injektiv ist, $\phi(n) %%@
\geq n'$ und damit $|a_{\phi(n)} - a| < \eps$. Nach Definition gilt damit $a_{\phi(n)} \kgt %%@
a$. \\
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 7} (6+3+3+3 Punkte) \\
Untersuchen Sie folgende Folgen auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert %%@
an: 
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 7a)
\item $(a_n)_{n \geq 1}$ mit $a_n := \rk{1 + \Frac{1}{2n}}^n$ für $n \in \N$. \\
(Zeigen und benutzen Sie: Ist $(a_n)_{n \geq 1}$ eine Folge positiver reeller Zahlen und %%@
gilt $\gw a_n = a > 0$, dann folgt $\gw \sqrt{a_n} = \sqrt{a}$.) \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $(a_n)_{n \geq 1}$ eine Folge positiver reeller Zahlen mit $\gw a_n = a > 0$. Dann gilt
\[
0 \leq |\sqrt{a_n} - \sqrt{a}| = \left| \Frac{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a})(\sqrt{a_n} + %%@
\sqrt{a})}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a}} \right| = \Frac{|a_n - a|}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a}} \leq %%@
\Frac{|a_n - a|}{\sqrt{a}} \kgt 0,
\]
da $a_n \kgt a$ und damit $|a_n - a| \kgt 0$. Damit folgt $|\sqrt{a_n} - \sqrt{a}| \kgt 0$, %%@
also $\sqrt{a_n} \kgt \sqrt{a}$. \\
Sei nun $(a_n)_{n \geq 1}$ die gegebene Folge. Dann gilt mit der eben gezeigten Aussage:
\[
a_n = \rk{1 + \Frac{1}{2n}}^n = \sqrt{\rk{1 + \Frac{1}{2n}}^{2n}} \kgt \sqrt{\gw[m] \rk{1 + %%@
\Frac{1}{2m}}^{2m}} = \sqrt{e},
\]
da $((1 + \frac{1}{2m})^{2m})_{m \geq 1}$ eine Teilfolge von $((1 + \frac{1}{n})^n)_{n \geq %%@
1}$ ist.
%Aufgabe 7b)
\item $(b_n)_{n \geq 1}$ mit $b_n := \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n}$ für $n \in \N$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Wegen der Monotonie der $n$-ten Wurzel gilt 
\[
7 = \sqrt[n]{7^n} \leq \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} \leq \sqrt[n]{7^n + 7^n + 7^n} = %%@
\sqrt[n]{3 \cdot 7^n} = \sqrt[n]{3} \cdot \sqrt[n]{7^n} = 7 \cdot \sqrt[n]{3} \kgt 7,
\]
also folgt $\gw b_n = 7$ nach dem Sandwich-Lemma.
%Aufgabe 7c)
\item $(c_n)_{n \geq 1}$ mit $c_n := \Frac{(n+2)! + i n^2 (n+3)!}{n(n+5)!}$ für $n \in \N$. %%@
\\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gilt
\begin{einrmath}
c_n & = \Frac{(n+2)! + i n^2 (n+3)!}{n(n+5)!} = \Frac{1}{n(n+3)(n+4)(n+5)} + i %%@
\Frac{n}{(n+4)(n+5)} \\[8\jot]
& = \Frac{1}{n(n+3)(n+4)(n+5)} + i \Frac{\frac{1}{n}}{(1 + \frac{4}{n})(1 + \frac{5}{n})} %%@
\overset{\text{GWS}}{\kgt} 0.
\end{einrmath}
%Aufgabe 7d)
\item $(d_n)_{n \geq 1}$ mit $d_n := \Frac{\sqrt{5} n + (-1)^n n}{n+1}$ für $n \in \N$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gilt
\[
d_{2n} = \Frac{\sqrt{5} (2n) + (-1)^{2n}(2n)}{2n+1} = \Frac{2n(\sqrt{5} + 1)}{2n+1} = %%@
\Frac{2(\sqrt{5} + 1)}{2 + \frac{1}{n}} \overset{\text{GWS}}{\kgt} \sqrt{5}+1
\]
und
\[
d_{2n-1} = \Frac{\sqrt{5} (2n-1) + (-1)^{2n-1}(2n-1)}{2n} = \Frac{(2 - %%@
\frac{1}{n})(\sqrt{5} - 1)}{2} \overset{\text{GWS}}{\kgt} \sqrt{5}-1.
\]
Damit hat $(d_n)_n$ zwei Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten und kann somit nicht %%@
konvergieren.
\end{enumerate}
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 8} (6 Punkte) \\
Zeigen Sie, dass die durch $x_1 = 1$ und $x_{n+1} = 2 x_n - \frac{1}{3} x_n^2$ für $n \in %%@
\N$ rekursiv definierte Folge $(x_n)_{n \geq 1}$ konvergent ist und bestimmen Sie den %%@
Grenzwert. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
(1) Beschränktheit: $0 < x_n \leq 3$ für alle $n \in \N$. \\
(IA) Es gilt $0 < x_1 = 1 \leq 3$. \\
(IV) Sei $n \in \N$ und gelte $0 < x_n \leq 3$ für dieses $n$. \\
(IS) Es ist $x_{n+1} \leq 3 \aeq 2 x_n - \frac{1}{3} x_n \leq 3 \aeq -6 x_n + x_n^2 \geq -9 %%@
\aeq x_n^2 - 6 x_n + 9 \geq 0 \aeq (x_n - 3)^2 \geq 0$, was immer gilt, also ist $x_{n+1} %%@
\leq 3$. Andererseits ist $x_{n+1} = 2 x_n - \frac{1}{3} x_n^2 > 0 \overset{\text{(IV) } %%@
x_n > 0}{\aeq} 2 - \frac{1}{3} x_n > 0 \aeq 2 > \frac{1}{3} x_n \aeq 6 > x_n$, was nach %%@
(IV) immer gilt, also ist $x_{n+1} > 0$. \\
Nach dem Induktionsprinzip folgt die Behauptung. \\
(2) Monotonie: $x_n \leq x_{n+1}$ für alle $n \in \N$. \\
Es gilt 
\[
x_n \leq x_{n+1} \overset{x_n \neq 0}{\aeq} \Frac{x_{n+1}}{x_n} \geq 1 \aeq \Frac{2 x_n - %%@
\frac{1}{3} x_n^2}{x_n} \geq 1 \aeq 2 - \Frac{1}{3} x_n \geq 1 \aeq x_n \leq 3,
\]
was nach Teil (1) gilt, also ist $(x_n)_{n \geq 1}$ monoton. \\
(3) Grenzwert: Nach (1) und (2) existiert $x = \gw x_n$ und es gilt $x = \gw x_n = \gw %%@
x_{n+1} = \gw (2 x_n - \frac{1}{3} x_n^2) \overset{\text{GWS}}{=} 2 x - \frac{1}{3} x^2$. %%@
Löst man diese Gleichung, erhält man $x = 2 x - \frac{1}{3} x^2 \aeq x = \frac{1}{3} x^2 %%@
\aeq x = 0 \vee x = 3$. Da der Grenzwert nicht $0$ sein kann ($(x_n)_{n \geq 1}$ ist %%@
monoton steigend und es gilt $x_1 = 1$, also $x_n \geq 1$ für alle $n \in \N$), muss $\gw %%@
x_n = 3$ gelten. \\
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 9} (4+2 Punkte) \\
Die Folge $(a_n)_{n \geq 1}$ sei definiert durch 
\[
a_n = \Frac{2 \sqrt{n}}{n+1} + i^{2n+1} \Frac{n-1}{n+2} \quad \text{für } n \in \N.
\]
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 9a)
\item Bestimmen Sie die Häufungspunkte von $(a_n)_{n \geq 1}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\ 
Es gilt
\[
a_{2n} = \Frac{2 \sqrt{2n}}{2n+1} + i^{4n+1} \Frac{2n-1}{2n+2} = \Frac{2 %%@
\sqrt{\frac{2}{n}}}{2 + \frac{1}{n}} + i \Frac{2 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{2}{n}} %%@
\overset{\text{GWS, A7a)}}{\kgt} i
\]
und
\[
a_{2n-1} = \Frac{2 \sqrt{2n-1}}{2n} + i^{4n-1} \Frac{2n-2}{2n+1} = \sqrt{\frac{2}{n} - %%@
\frac{1}{n^2}} - i \Frac{2 - \frac{2}{n}}{2 + \frac{1}{n}} \overset{\text{GWS, A7a)}}{\kgt} %%@
-i.
\]
Sei nun $(a_{n_k})_{k \geq 1}$ eine konvergente Teilfolge von $(a_n)_{n \geq 1}$. Dann %%@
liegen unendliche viele gerade oder unendlich viele ungerade Zahlen in $(n_k)_{k \geq 1}$, %%@
also gibt es eine Teilfolge von $(a_{n_k})_{k \geq 1}$, die auch Teilfolge von $(a_{2n})_n$ %%@
bzw. $(a_{2n-1})_n$ ist und somit gegen $i$ oder $-i$ konvergiert. Da $(a_{n_k})_k$ nach %%@
Voraussetzung konvergent ist, muss $a_{n_k} \kgt[k] i$ oder $a_{n_k} \kgt[k] -i$ gelten, %%@
also gibt es außer $i$ und $-i$ keine weiteren Häufungspunkte.
%Aufgabe 9b)
\item Bestimmen Sie Limes inferior und Limes superior von $(\Re(a_n))_{n \geq 1}$ sowie von %%@
$(\Im(a_n))_{n \geq 1}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Aus Teil a) erhält man über die Zerlegung in Real- und Imaginärteil $\{0\}$ als %%@
Häufungspunktmenge von $(\Re a_n)_{n \geq 1}$ und $\{-1, 1\}$ als Häufungspunktmenge von %%@
$(\Im a_n)_{n \geq 1}$. Daraus liest man $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \Re a_n = %%@
\limsup_{n \to \infty} \Re a_n = 0$, $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \Im a_n = -1$ %%@
und $\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \Re a_n = 1$ ab.
\end{enumerate} 
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 10} (6 Punkte) \\
Seien $(a_n)_{n \geq 1}$ und $(b_n)_{n \geq 1}$ konvergente reelle Folgen mit $\gw a_n = a$ %%@
und $\gw b_n = b$. Zeigen Sie ohne Benutzung der Rechenregeln für Grenzwerte:
\[
(a_n b_n)_{n \geq 1} \text{ konvergiert mit } \gw a_n b_n = ab.
\]
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Da $(a_n)_{n \geq 1}$ und $(b_n)_{n \geq 1}$ konvergent und damit beschränkt sind, %%@
existieren $A, B \in (0; \infty)$ mit $|a_n| \leq A$ und $|b_n| \leq B$ für alle $n \in %%@
\N$. Sei $\eps > 0$ und $n_0$ so gewählt, dass $|a_n - a| < \frac{\eps}{2(A+B)}$ und $|b_n %%@
- b| < \frac{\eps}{2(A+B)}$ für alle $n \geq n_0$ gilt. Dann hat man für $n \geq n_0$:
\begin{einrmath}
|a_n b_n - ab| & = |a_n b_n - a_n b + a_n b - ab| = |a_n (b_n - b) + (a_n - a) b| \\[2\jot]
& \leq |a_n| \cdot |b_n - b| + |a_n - a| \cdot |b| \leq A \frac{\eps}{2(A+B)} + %%@
\frac{\eps}{2(A+B)} B \leq \frac{\eps}{2} + \frac{\eps}{2} = \eps,
\end{einrmath}
also ist $a_n b_n \kgt a b$ mit der Definition gezeigt. \\
\hspace{1cm}

\textbf{Aufgabe 11} (2+2+2 Punkte)
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 11a)
\item Geben Sie eine exakte Formulierung der Definition der Konvergenz einer komplexen %%@
Folge an. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $(a_n)_{n \geq 1}$ eine komplexe Folge. $(a_n)_{n \geq 1}$ heißt konvergent, wenn es %%@
ein $a \in \C$ gibt, so dass für alle $\eps > 0$ ein $n_0 \in \R$ existiert mit $|a_n - a| %%@
< \eps$ für alle $n \geq n_0$.
%Aufgabe 11b)
\item Geben Sie eine exakte Formulierung des Sandwich-Lemmas an. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Seien $(a_n)_{n \geq 1}$, $(b_n)_{n \geq 1}$ und $(c_n)_{n \geq 1}$ reelle Folgen mit $\gw %%@
a_n = \gw c_n = G$. Gibt es ein $n_0 \in \N$ mit $a_n \leq b_n \leq c_n$ für alle $n \geq %%@
n_0$, so ist auch $(b_n)_{n \geq 1}$ konvergent und es gilt $\gw b_n = G$. 
%Aufgabe 11c)
\item Sei $M \subset \R$, $x \in \R$. Geben Sie zwei äquivalente Bedingungen dazu an, dass %%@
$x$ Häufungspunkt von $M$ ist. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es sind äquivalent: \\
(i) $x$ ist ein Häufungspunkt von $M$. \\
(ii) In jeder Umgebung von $x$ liegen unendlich viele Punkte von $M$. \\
(iii) In jeder Umgebung von $x$ liegt ein von $x$ verschiedener Punkt aus $M$. \\
(iv) Für jedes $\eps > 0$ gilt $(M \setminus \{x\}) \cap U_\eps(x) \neq \emptyset$.
\end{enumerate}  

\end{document}
