\documentclass[12pt,fleqn,leqno]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}      % um Umlaute direkt eingeben zu können 
\usepackage{ngerman}               % Sprachdefinition Deutsch - Neue Rechtschreibung
\usepackage{amsmath}               % erweiterte Konstrukte für Mathematiksatz
\usepackage{amssymb}               % erweiterter mathematischer Symbolvorrat
\usepackage{amsfonts}              % erweiterter Schriftenvorrat für Mathematiksatz
\usepackage{enumerate}             % für flexiblere Nummerierungen
\usepackage{array}                 % für komfortable Tabellen
\usepackage{dsfont}                % für Mengensymbole mit Doppelstrich
\usepackage{wasysym}               % u. a. für das Widerspruchssymbol

% Festlegung der Seitenränder
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm}

% Festlegung der Kopf-/Fußzeile
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Lösung zur 2. Klausur zur Analysis I}
\rhead{Marc Ensenbach}

\setlength{\parindent}{0cm} % verhindert Einrücken der ersten Zeile im Abschnitt

% Abkürzungen für häufig benutzte Befehle
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\N}{\mathds{N}} % Mengensymbole
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds{Q}}
\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}
\newcommand{\rk}[1]{\left( #1 \right)}    % Klammern in angepasster Größe
\newcommand{\ek}[1]{\left[ #1 \right]}
\newcommand{\gk}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\sk}[1]{\left< #1 \right>}
\newcommand{\Sum}{\displaystyle \sum}   % für große Summenzeichen auch in $...$ 
\newcommand{\ksum}{\textstyle \sum}     % für kleine Summenzeichen auch in \[...\]
\newcommand{\Frac}{\displaystyle \frac}
\newcommand{\kfrac}{\textstyle \frac}
\newcommand{\imp}{\Rightarrow}      % Pfeile
\newcommand{\aeq}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\gw}[1][n]{\underset{#1 \to \infty}{\lim}}  % Grenzwertsymbole
\newcommand{\kgt}[1][n]{\underset{#1 \to \infty}{\longrightarrow}}

% Umdefinition von vorhandenen Befehlen
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\rho}{\varrho}
\renewcommand{\leq}{\leqslant} % Kleiner/gleich-Zeichen mit schrägem Strich 
\renewcommand{\geq}{\geqslant}  
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Bezeichnung für Real-/Imaginärteil nach Vorlesung
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % als Operator (nicht kursiv gesetzt)

% Umgebungen
\newenvironment{einrmath}{
  \[\setlength{\arraycolsep}{0.05cm}\begin{array}{ll}
}{
  \end{array}\] \\
}

\begin{document}
\title{Lösung zur 2. Klausur zur Analysis I}
\author{Marc Ensenbach}
\maketitle

\textbf{Aufgabe 1} (3+3 Punkte)
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 1a)
\item Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz: 
\[
\Sum_{n=1}^\infty \Frac{(n!)^2}{(2n)!}.
\] 
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Setze $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$, dann ist
\[
\left| \Frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \Frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \Frac{(2n)!}{(n!)^2} = %%@
\Frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \Frac{n^2 + 2n + 1}{4n^2 + 6n + 2} \kgt \Frac{1}{4} < 1,
\]
also ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent und damit konvergent.
%Aufgabe 1b)
\item Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:
\[
\Sum_{k=2}^\infty \Frac{\log(1 + \frac{1}{k})}{\log(k^{\log(k+1)})}.
\]
Hinweis: Vereinfachen Sie zunächst den Quotienten. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es ist
\begin{einrmath}
\Frac{\log(1 + \frac{1}{k})}{\log(k^{\log(k+1)})} & = \Frac{\log(1 + %%@
\frac{1}{k})}{\log(k+1) \log k} = \Frac{\log(\frac{1}{k}(k + 1))}{\log(k+1) \log k} = %%@
\Frac{\log \frac{1}{k} + \log(k + 1)}{\log(k+1) \log k} \\[8\jot]
& = \Frac{-\log k + \log(k + 1)}{\log(k+1) \log k} = -\Frac{1}{\log(k+1)} + \Frac{1}{\log %%@
k}.   
\end{einrmath}
Damit erhält man
\begin{einrmath}
\Sum_{k=2}^n \Frac{\log(1 + \frac{1}{k})}{\log(k^{\log(k+1)})} & = \Sum_{k=2}^n %%@
\rk{-\Frac{1}{\log(k+1)} + \Frac{1}{\log k}} = -\Sum_{k=2}^n \Frac{1}{\log(k+1)} + %%@
\Sum_{k=2}^n \Frac{1}{\log k} \\[8\jot]
& = -\Sum_{k=3}^{n+1} \Frac{1}{\log k} + \Sum_{k=2}^n \Frac{1}{\log k} = %%@
-\Frac{1}{\log(n+1)} + \Frac{1}{\log 2} \overset{\text{GWS}}{\kgt} \Frac{1}{\log 2}, 
\end{einrmath}
also ist $\frac{1}{\log 2}$ der Wert der gegebenen Reihe.
\end{enumerate}

\textbf{Aufgabe 2} (4 Punkte) \\
Sei $(a_k)_{k \geq 1}$ eine reelle, konvergente Folge mit $a_k \neq 0$ für alle $k \in \N$ %%@
und $\gw[k] a_k = a > 0$. Zeigen Sie: Falls $\Sum_{k=1}^\infty |a_{k+1} - a_k|$ konvergent %%@
ist, dann konvergiert auch $\Sum_{k=1}^\infty \left| \Frac{1}{a_{k+1}} - \Frac{1}{a_k} %%@
\right|$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Da $a_k \kgt[k] a > 0$, existiert ein $k_0 \in \N$ mit $a_k \geq \frac{a}{2}$ für alle $k %%@
\geq k_0$, also ist für $k \geq k_0$
\[
\left| \Frac{1}{a_{k+1}} - \Frac{1}{a_k} \right| = \left| \Frac{a_k - a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} %%@
\right| = \Frac{|a_{k+1} - a_k|}{a_{k+1} a_k} \leq \Frac{|a_{k+1} - a_k|}{\frac{a}{2} \cdot %%@
\frac{a}{2}} = \Frac{4}{a^2} |a_{k+1} - a_k|.
\] 
Nach Voraussetzung ist damit $\Sum_{k=1}^\infty |a_{k+1} - a_k|$ eine konvergente Majorante %%@
von $\Sum_{k=1}^\infty \left| \Frac{1}{a_{k+1}} - \Frac{1}{a_k} \right|$, womit diese Reihe %%@
konvergiert. \\

\textbf{Aufgabe 3} (3+3+3 Punkte) \\
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen: 
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 3a)
\item $\Sum_{n=0}^\infty 2^n z^{n!}$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Setze
\[
a_n = \begin{cases}
2 & \text{wenn } \exists k \in \N: n=k!, \\
0 & \text{sonst},
\end{cases}
\]
dann ist $\Sum_{n=0}^\infty 2^n z^{n!} = \Sum_{n=0}^\infty a_n z^n$, also berechnet sich %%@
der Konvergenzradius $R$ der Reihe nach \textsc{Cauchy-Hadamard} über $\frac{1}{R} = %%@
\displaystyle\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. Es gilt $\sqrt[n!]{|a_{n!}|} = %%@
\sqrt[n!]{2} \kgt 1$ als Teilfolge von $(\sqrt[n]{2})_{n \geq 1}$, also ist $1$ ein %%@
Häufungspunkt der Folge $(\sqrt[n]{|a_n|})_{n \geq 1}$. Da $\sqrt[n!]{|a_{n!}|} \leq %%@
\sqrt[n!]{2} \kgt 1$ gilt, ist $1$ der größte Häufungspunkt der Folge, womit %%@
$\displaystyle\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$ und damit $R = 1$ gilt. 
%Aufgabe 3b)
\item $\Sum_{n=0}^\infty \frac{e^n + e^{-n}}{2} z^n$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Aus den Übungen ist bekannt, dass für $a, b > 0$ gilt: $\sqrt[n]{a^n + b^n} \kgt \max\{a, %%@
b\}$. Damit ist 
\[
\gw \sqrt[n]{\Frac{e^n + e^{-n}}{2}} = \gw \Frac{\sqrt[n]{e^n + %%@
(\frac{1}{e})^n}}{\sqrt[n]{2}} \overset{\text{GWS}}{=} \Frac{e}{1} = e,
\]
und nach \textsc{Cauchy-Hadamard} ist $R = \frac{1}{e}$ der Konvergenzradius der Reihe.
%Aufgabe 3c)
\item $\Sum_{n=0}^\infty (5n+3)(2z)^{3n}$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es ist $(5n+3)(2z)^{3n} = (5n+3) \cdot 2^{3n} z^{3n} = (5n+3) \cdot 2^{3n} (z^3)^n$, also %%@
kann man die Reihe als Potenzreihe in $z^3$ auffassen. Für den Konvergenzradius $R'$ dieser %%@
Reihe gilt
\[
\Frac{1}{R'} = \gw \sqrt[n]{(5n+3) 2^{3n}} = \gw 2^3 \sqrt[n]{5n+3} = 8,
\]
da $1 \leq \sqrt[n]{5n+3} \leq \sqrt[n]{8n} = \sqrt[n]{8} \sqrt[n]{n} %%@
\overset{\text{GWS}}{\kgt} 1 \cdot 1 = 1$, also $\sqrt[n]{5n+3} \kgt 1$. Die Reihe %%@
konvergiert damit für $|z|^3 = |z^3| < \frac{1}{8}$ und divergiert für $|z|^3 > %%@
\frac{1}{8}$. Daraus ergibt sich der Konvergenzradius $\frac{1}{2}$ für die zu %%@
untersuchende Reihe. 
\end{enumerate}

\textbf{Aufgabe 4} (5 Punkte) \\
Zeigen Sie, dass für eine Funktion $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ die folgenden beiden %%@
Aussagen äquivalent sind: \\
(i) $\gw[x] f(x) = \infty$ \\
(ii) $\displaystyle\lim_{x \downarrow 0} \Frac{1}{f(\frac{1}{x})} = 0$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
(i) $\imp$ (ii): Sei $\gw[x] f(x) = \infty$ und $\eps>0$. Nach Voraussetzung existiert ein %%@
$y_0 \in (0, \infty)$, so dass $f(y) > \frac{1}{\eps}$ für alle $y \geq y_0$ gilt. Wähle %%@
$\delta = \frac{1}{y_0}$, dann gilt für $x \in (0, \delta)$: $f(\frac{1}{x}) > %%@
\frac{1}{\eps}$, da $\frac{1}{x} \geq y_0$, und damit ist $\Frac{1}{f(\frac{1}{x})} < %%@
\eps$. Nach Definition ist dann (ii) gezeigt. \\
(ii) $\imp$ (i): Sei $\displaystyle\lim_{x \downarrow 0} \Frac{1}{f(\frac{1}{x})} = 0$ und %%@
$M > 0$. Dann existiert nach Voraussetzung ein $\delta > 0$ mit $\Frac{1}{f(\frac{1}{y})} < %%@
\Frac{1}{M}$ für alle $y \in (0, \delta)$. Wähle $x_0 = \frac{1}{\delta}$, dann gilt $0 < y %%@
:= \frac{1}{x} < \delta$ für alle $x > x_0$. Damit ist $\Frac{1}{f(\frac{1}{y})} < %%@
\Frac{1}{M}$, also $f(x) = f(\frac{1}{y}) > M$. Nach Definition ist dann (i) gezeigt. %%@
\\[\baselineskip]

\textbf{Aufgabe 5} (2+3+2 Punkte) \\
Untersuchen Sie folgende Grenzwerte auf Existenz und bestimmen Sie sie gegebenenfalls: 
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 5a)
\item $\gw[x] \sqrt{x} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es ist 
\[
\sqrt{x} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \sqrt{x^2 + x} - x = \Frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} %%@
+ x} = \Frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \Frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}.
\]
Aufgrund der Stetigkeit der Wurzelfunktion erhält man mit den Grenzwertsätzen $\sqrt{x} %%@
(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) \kgt[x] \frac{1}{2}$.
%Aufgabe 5b)
\item $\displaystyle\lim_{x \downarrow 0} \Frac{\cos(\sqrt{x}) - 1}{x}$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Für $x > 0$ ist 
\begin{einrmath}
\Frac{\cos(\sqrt{x}) - 1}{x} & = \Frac{\Sum_{k=0}^\infty (-1)^k %%@
\Frac{(\sqrt{x})^{2k}}{(2k)!} - 1}{x} = \Frac{\Sum_{k=0}^\infty (-1)^k \Frac{x^k}{(2k)!} - %%@
1}{x} = \Frac{\Sum_{k=1}^\infty (-1)^k \Frac{x^k}{(2k)!}}{x} \\[8\jot]
& = \Sum_{k=1}^\infty (-1)^k \Frac{x^{k-1}}{(2k)!} = \Sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} %%@
\Frac{x^k}{(2k+2)!} \underset{x \downarrow 0}{\longrightarrow} (-1)^1 \Frac{1}{2!} = - %%@
\Frac{1}{2},    
\end{einrmath}
da die betrachtete Potenzreihe den Konvergenzradius $\infty$ hat und somit auf ganz $\R$ %%@
stetig ist.
%Aufgabe 5c)
\item $\displaystyle\lim_{x \to 1} \Frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Für $x \neq 1$ ist
\[
\Frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1} = \Frac{\sqrt{(x-1)^2}}{x-1} = \Frac{|x-1|}{x-1} = %%@
\begin{cases}
1 & \text{für } x > 1 \\
-1 & \text{für } x < 1.
\end{cases}
\]
Damit ist $\displaystyle\lim_{x \downarrow 1} \Frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1} = 1$ und %%@
$\displaystyle\lim_{x \uparrow 1} \Frac{\sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1} = -1$, womit der %%@
Grenzwert in $1$ nicht existiert.
\end{enumerate} 

\textbf{Aufgabe 6} (4 Punkte) \\
Zeigen Sie, dass die Funktion $f: (0, \infty) \to \R$, $x \mapsto \frac{1}{x}$ nicht %%@
gleichmäßig stetig ist. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $\eps = 1$, $\delta > 0$ und $n \in \N$, $n > \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{2}{\delta} + %%@
\frac{1}{4}}$. Für $x = \frac{1}{n}$, $y = \frac{1}{n} + \frac{\delta}{2}$ gilt $|x - y| < %%@
\delta$, aber es ist
\[
|f(x) - f(y)| = n - \Frac{1}{\frac{1}{n} + \frac{\delta}{2}} = \Frac{n %%@
\frac{\delta}{2}}{\frac{1}{n} + \frac{\delta}{2}} > \eps,
\]
da
\[
\Frac{n \frac{\delta}{2}}{\frac{1}{n} + \frac{\delta}{2}} > 1 \aeq n \frac{\delta}{2} > %%@
\frac{\delta}{2} + \frac{1}{n} \aeq n^2 - n - \frac{2}{\delta} > 0 \aeq n > \frac{1}{2} + %%@
\sqrt{\frac{2}{\delta} + \frac{1}{4}}.  
\]
Damit ist $f$ nicht gleichmäßig stetig. \\

\textbf{Aufgabe 7} (5 Punkte) \\
Für $k \in \N_0$ seien die Funktionen $f_k: \R \to \R$ definiert durch
\[
f_k(x) = \begin{cases}
x^k \cos(\frac{1}{x}) \exp(x) & \text{für } x \neq 0 \\
0 & \text{für } x=0. \\
\end{cases}
\]
Für welche $k \in \N_0$ ist $f_k$ in $x_0=0$ stetig bzw. differenzierbar? \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
1. Fall: $k=0$: \\
Betrachte die Folge $(x_n)_{n \geq 1}$, $x_n = \frac{1}{2 \pi n}$, dann ist aufgrund der %%@
Stetigkeit der Exponentialfunktion
\[
\gw f_0(x_n) = \gw \cos(2 \pi n) \exp(\kfrac{1}{2 \pi n}) = \gw \exp(\kfrac{1}{2 \pi n}) = %%@
1,
\]
und für $y_n = \frac{1}{(2n+1) \pi}$ ist
\[
\gw f_0(y_n) = \gw \cos((2n+1) \pi) \exp(\kfrac{1}{(2n+1) \pi}) = -\gw %%@
\exp(\kfrac{1}{(2n+1) \pi}) = -1.
\]
Da aber $x_n \kgt 0$ und $y_n \kgt 0$, ist $f_0$ in $x_0=0$ nicht stetig und damit nicht %%@
differenzierbar. \\
2. Fall: $k=1$: \\
Sei $(x_n)_{n \geq 1}$ eine reelle Folge mit $x_n \kgt 0$. Dann gilt 
\[
\gw f_1(x_n) = \gw x_n \cos(\kfrac{1}{x_n}) \exp(x_n) = 0,
\]
da $x_n \kgt 0$, $\cos(\frac{1}{x_n})$ beschränkt und die Exponentialfunktion stetig ist. %%@
Damit ist $f_1$ stetig in $x_0 = 0$. Weiterhin ist für $h \neq 0$
\[
\Frac{f_1(h) - f_1(0)}{h} = \Frac{f_1(h)}{h} = \Frac{h f_0(h)}{h} = f_0(h).
\]
Nach dem ersten Fall kann der Grenzwert des Differenzenquotienten für $h \to 0$ nicht %%@
existieren, womit $f_1$ in $0$ nicht differenzierbar ist. \\
3. Fall: $k \geq 2$: \\
Es gilt $f_k(x) = x^{k-1} f_1(x)$, also ist $f_k$ als Produkt in $0$ stetiger Funktionen %%@
stetig in $0$. Es gilt 
\[
\lim_{h \to 0} \Frac{f_k(h) - f_k(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \Frac{f_k(h)}{h} = \lim_{h \to 0} %%@
\Frac{h f_{k-1}(h)}{h} = \lim_{h \to 0} f_{k-1}(h) = f_{k-1}(0) = 0, 
\]
da $f_k$ für $k \geq 1$ stetig in $0$ ist. Damit ist $f_k$ für $k \geq 2$ in $0$ %%@
differenzierbar. \\

\textbf{Aufgabe 8} (6 Punkte) \\
Beweisen Sie den folgenden Satz aus der Vorlesung: \\
Sei $f: D \to \R$ eine Funktion und $x_0 \in D$. Dann sind äquivalent: \\
(i) $f$ ist stetig in $x_0$ \\
(ii) Für jede Folge $(x_n)_{n \geq 1}$ in $D$ mit $\gw x_n = x_0$ gilt $\gw f(x_n) = f(\gw %%@
x_n) = f(x_0)$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
(i) $\imp$ (ii): Sei $(x_n)_{n \geq 1}$ eine Folge in $D$ mit $\gw x_n = x_0$. Sei %%@
$\eps>0$. Aus (i) folgt die Existenz eines $\delta>0$ mit der Eigenschaft $|f(x) - f(x_0)| %%@
< \eps$ für alle $x \in D \cap U_\delta(x_0)$. Wegen $\gw x_n = x_0$ gibt es ein $n_0 \in %%@
\N$, so dass $|x_n - x_0| < \delta$, d. h. $x_n \in U_\delta(x_0)$, für alle $n \geq n_0$. %%@
Es folgt $|f(x_n) - f(x_0)| < \eps$ für alle $n \geq n_0$, also $\gw f(x_n) = f(x_0)$. \\
(ii) $\imp$ (i): Es sei angenommen, dass $f$ nicht stetig in $x_0$ ist. Dann existiert ein %%@
$\eps>0$, so dass zu jedem $\delta>0$ ein $x$ existiert mit $|x - x_0| < \delta$ und $|f(x) %%@
- f(x_0)| \geq \eps$. Zu $\delta = \frac{1}{n}$, $n \in \N$, existiert somit ein $x_n \in %%@
D$ mit $|x_n - x_0| < \frac{1}{n}$ und $|f(x_n) - f(x_0)| \geq \eps$. Aus $|x_n - x_0| < %%@
\frac{1}{n}$ erhält man $\gw x_n = x_0$. Wegen $|f(x_n) - f(x_0)| \geq \eps$ konvergiert %%@
$(f(x_n))_{n \geq 1}$ aber nicht gegen $f(x_0)$. \lightning{} zu (ii), also ist $f$ stetig %%@
in $x_0$. \\

\textbf{Aufgabe 9} (3+4 Punkte) \\
Bestimmen Sie alle Stetigkeits- und Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktionen: 
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 9a)
\item $f: \R \to \R$, $x \mapsto [x] + \sqrt{x - [x]}$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
1. Fall: $x_0 \in \R \setminus \Z$: \\
In $x_0$ ist $f$ als Verknüpfung/Verkettung elementarer stetiger Funktionen stetig. \\
2. Fall: $x_0 \in \Z$: \\ 
Wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion ist
\[
\lim_{x \downarrow x_0} ([x] + \sqrt{x - [x]}) = \lim_{x \downarrow x_0} (x_0 + \sqrt{x - %%@
x_0}) = x_0 
\] 
und 
\[
\lim_{x \uparrow x_0} ([x] + \sqrt{x - [x]}) = \lim_{x \uparrow x_0} (x_0-1 + \sqrt{x - %%@
(x_0-1)}) = x_0-1 + 1 = x_0. 
\]
Da linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, ist $f$ in $x_0$ stetig.
%Aufgabe 9b)
\item $g: \R \to \R$, $x \mapsto \begin{cases}
\Frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 6x + 8} & \text{für } x \in \R \setminus \N \\[8\jot]
\Frac{3x + 1}{x + 2} & \text{für } x \in \N.
\end{cases}$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
In $\R \setminus \N$ ist die Funktion als rationale Funktion stetig. Sei nun $x_0 \in \N$, %%@
$x_0 \neq 4$. Dann gilt:
\[
\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} \Frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 6x + 8} = \lim_{x \to %%@
x_0} \Frac{(x-2)(x-5)}{(x-2)(x-4)} = \lim_{x \to x_0} \Frac{x-5}{x-4} = \Frac{x_0 - 5}{x_0 %%@
- 4}.
\] 
Stetigkeit in $x_0$ ist daher gleichbedeutend mit
\begin{einrmath}
& \Frac{x_0 - 5}{x_0 - 4} = g(x_0) = \Frac{3x_0 + 1}{x_0 + 2} \\[4\jot]
\aeq & (x_0 - 5)(x_0 + 2) = (3x_0 + 1)(x_0 - 4) \\[2\jot]
\aeq & x_0^2 - 3x_0 - 10 = 3x_0^2 - 11x_0 - 4 \\[2\jot]
\aeq & 2x_0^2 - 8x_0 + 6 = 0 \\[2\jot] 
\aeq & x_0^2 - 4x_0 + 3 = 0 \\[2\jot]
\aeq & x_0 = 1 \vee x_0 = 3. 
\end{einrmath}
Nun betrachte noch $x_0 = 4$: Wegen 
\[
\lim_{x \downarrow 4} g(x) = \lim_{x \downarrow 4} \Frac{x-5}{x-4} = -\infty
\]
kann $g$ in $4$ nicht stetig sein. Insgesamt erhält man, dass $g$ genau in den Punkten aus %%@
$\N \setminus \{1, 3\}$ unstetig ist.
\end{enumerate}

\textbf{Aufgabe 10} (1+3+1 Punkte) \\
Zeigen Sie: 
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 10a)
\item Jede abgeschlossene Menge $A \subset \R$, die Teilmenge einer kompakten Menge $K %%@
\subset \R$ ist, ist kompakt. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $K \subset \R$ kompakt, dann existieren $\min K$ und $\max K$. Für $x \in A$ ist auch %%@
$x \in K$ und damit $\min K \leq x \leq \max K$, also ist $A$ beschränkt. Da $A$ nach %%@
Voraussetzung abgeschlossen ist, ist $A$ nach Definition kompakt.
%Aufgabe 10b)
\item Sei $K \subset \R$ kompakt. Jede Folge $(x_n)_{n \geq 1}$ mit $x_n \in K$ für alle $n %%@
\in \N$, die nur einen Häufungspunkt besitzt, ist konvergent. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $(x_n)_{n \geq 1}$ eine Folge mit $x_n \in K$ für alle $n \in \N$, die nur einen %%@
Häufungspunkt $x$ besitze. Unter der Annahme, dass $(x_n)_{n \geq 1}$ nicht gegen $x$ %%@
konvergent ist, existiert ein $\eps>0$, so dass für alle $n_0$ ein $n \geq n_0$ existiert %%@
mit $|x_n - x| \geq \eps$, also liegt die so gegebene Teilfolge $(x_{n_k})_k$ in $K' = K %%@
\setminus (x-\eps, x+\eps)$, was wieder kompakt ist. Damit hat die Teilfolge einen %%@
Häufungspunkt $x'$ in $K'$, der wegen $x \notin K'$ von $x$ verschieden ist. \lightning{} %%@
zur Voraussetzung, also muss $(x_n)_{n \geq 1}$ konvergieren.  
%Aufgabe 10c)
\item Die Aussage von b) gilt i. A. nicht, falls $K$ abgeschlossen, aber nicht kompakt ist. %%@
\\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $(x_n)_{n \geq 1}$ in der abgeschlossenen Menge $\R$ definiert durch $x_n = (1 + %%@
(-1)^n) n$ und sei $(x_{n_k})_k$ eine Teilfolge von $(x_n)_n$. Gibt es unendlich viele %%@
gerade $n_k$, so ist die Teilfolge divergent, ansonsten ist die Teilfolge für fast alle $k$ %%@
gleich $0$ und damit konvergent gegen $0$, also ist $0$ der einzige Häufungspunkt der %%@
Folge, aber $(x_n)_n$ ist nicht konvergent.
\end{enumerate}


\textbf{Aufgabe 11} (4 Punkte) \\
Zeigen Sie, dass die Gleichung $\Frac{\sin x}{x} = x$ mindestens eine Lösung in $\R %%@
\setminus \{0\}$ hat. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gilt $\Frac{\sin x}{x} = x \aeq \sin x = x^2 \aeq \sin x - x^2 = 0$. Es ist nach %%@
\textsc{Leibniz} $\sin x = \Sum_{n=0}^\infty (-1)^n \Frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \geq x - %%@
\Frac{x^3}{6}$ für $x>0$, also $\sin \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 \geq \frac{1}{2} - %%@
\frac{1}{48} - \frac{1}{4} > 0$, und es gilt $\sin \pi - \pi^2 = -\pi^2 < 0$. Da $x \mapsto %%@
\sin x - x^2$ als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig ist, hat die Funktion nach dem %%@
Zwischenwertsatz eine Nullstelle $\xi \in [\frac{1}{2}, \pi]$, und es gilt $\Frac{\sin %%@
\xi}{\xi} = \xi$. \\

\textbf{Aufgabe 12} (4 Punkte) \\
Seien $f,g : [a,b] \to \R$ stetig. Weiter gelte $f^2(x) = g^2(x)$ und $f(x) \neq 0$ für %%@
alle $x \in [a,b]$. Zeigen Sie, dass entweder $f(x) = g(x)$ für alle $x \in [a,b]$ oder %%@
$f(x) = -g(x)$ für alle $x \in [a,b]$ gilt. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Für jedes $x \in [a,b]$ gilt $f^2(x) = g^2(x)$, also $f(x) = g(x)$ oder $f(x) = -g(x)$. Es %%@
verbleibt zu zeigen, dass es keine Punkte $x_1, x_2 \in [a,b]$ gibt mit $f(x_1) = g(x_1)$ %%@
und $f(x_2) = -g(x_2)$. Dazu sei angenommen, dass solche $x_1, x_2$ existieren. Nun %%@
betrachte $f \cdot g$. Es gilt $(f \cdot g)(x_1) = f(x_1) g(x_1) = g^2(x_1) > 0$ und $(f %%@
\cdot g)(x_2) = f(x_2) g(x_2) = -g^2(x_2) < 0$. Da $f \cdot g$ als Produkt stetiger %%@
Funktionen stetig ist, existiert ein $\xi \in [a,b]$ mit $(f \cdot g)(\xi) = 0$, also mit %%@
$f(\xi) = 0$ oder $g(\xi) = 0$. \lightning{} zu $f(x) \neq 0$ für alle $x \in [a,b]$, da im %%@
Fall $g(\xi) = 0$ auch $f(\xi) = \pm g(\xi) = 0$ ist. Damit ist die Behauptung gezeigt. \\

\textbf{Aufgabe 13} (2+2+2 Punkte) 
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 13a)
\item Geben Sie eine exakte Formulierung des Satzes von \textsc{Rolle} an. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Seien $a, b \in \R$, $a<b$, $f: [a,b] \to \R$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar mit %%@
$f(a) = f(b) = 0$. Dann existiert ein $x_0 \in (a,b)$ mit $f'(x_0) = 0$. 
%Aufgabe 13b)
\item Seien $a < x_0 < b$ und $f: D \to \R$ mit $(a, x_0) \subset D$ sowie $(x_0, b) %%@
\subset D$ und $L \in \R$. Geben Sie zwei äquivalente Bedingungen dazu an, dass $f$ für $x %%@
\to x_0$ konvergent gegen $L$ ist. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
(i) $f$ konvergiert genau dann für $x \to x_0$ gegen $L$, wenn zu jedem $\eps>0$ ein %%@
$\delta>0$ existiert, so dass für alle $x \in D$ mit $0 < |x - x_0| < \delta$ gilt: $|f(x) %%@
- L| < \eps$. \\
(ii) $f$ konvergiert genau dann für $x \to x_0$ gegen $L$, wenn für jede Folge $(x_n)_{n %%@
\geq 1}$ in $D \setminus \{x_0\}$ mit $x_n \kgt x_0$ gilt: $\gw f(x_n) = L$. \\
(iii) $f$ konvergiert genau dann für $x \to x_0$ gegen $L$, wenn zu jedem $\eps>0$ ein %%@
$\delta>0$ existiert, so dass für alle $x_1, x_2 \in D$ mit $0 < |x_0 - x_1|, |x_0 - x_2| < %%@
\delta$ gilt: $|f(x_1) - f(x_2)| < \eps$.
%Aufgabe 13c)
\item Formulieren Sie exakt die Definition einer hebbaren Unstetigkeitsstelle. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $f: D \to \R$ eine Funktion und $x_0 \in \R$ ein innerer Punkt von $D \cup \{x_0\}$. %%@
Dann heißt $x_0$ eine hebbare Unstetigkeitsstelle von $f$, wenn $\displaystyle\lim_{x %%@
\uparrow x_0} f(x)$ und $\displaystyle\lim_{x \downarrow x_0} f(x)$ beide existieren und %%@
gleich sind, aber im Fall $x_0 \in D$ von $f(x_0)$ verschieden sind.
\end{enumerate}
 
\end{document}
