\documentclass[12pt,fleqn,leqno]{article}

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\usepackage{ngerman}               % Sprachdefinition Deutsch - Neue Rechtschreibung
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% Festlegung der Seitenränder
\usepackage{geometry}
\geometry{top=1cm}

% Festlegung der Kopf-/Fußzeile
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Lösung zur 3. Klausur zur Analysis I}
\rhead{Marc Ensenbach}

\setlength{\parindent}{0cm} % verhindert Einrücken der ersten Zeile im Abschnitt

% Abkürzungen für häufig benutzte Befehle
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\N}{\mathds{N}} % Mengensymbole
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds{Q}}
\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}
\newcommand{\rk}[1]{\left( #1 \right)}    % Klammern in angepasster Größe
\newcommand{\ek}[1]{\left[ #1 \right]}
\newcommand{\gk}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\sk}[1]{\left< #1 \right>}
\newcommand{\Sum}{\displaystyle \sum}   % für große Summenzeichen auch in $...$ 
\newcommand{\ksum}{\textstyle \sum}     % für kleine Summenzeichen auch in \[...\]
\newcommand{\Prod}{\displaystyle \prod} % Analoges für das Produktzeichen 
\newcommand{\kprod}{\textstyle \prod}     
\newcommand{\Frac}{\displaystyle \frac}
\newcommand{\kfrac}{\textstyle \frac}
\newcommand{\imp}{\Rightarrow}      % Pfeile
\newcommand{\aeq}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\gw}[1][n]{\underset{#1 \to \infty}{\lim}}  % Grenzwertsymbole
\newcommand{\kgt}[1][n]{\underset{#1 \to \infty}{\longrightarrow}}
\newcommand{\fgw}[2][x]{\underset{#1 \to #2}{\lim\:}}
\newcommand{\fkgt}[2][x]{\underset{#1 \to #2}{\longrightarrow}}
\newcommand{\rlim}[2][x]{\underset{#1 \downarrow #2}{\lim\;}}
\newcommand{\rkgt}[2][x]{\underset{#1 \downarrow #2}{\longrightarrow}}
\newcommand{\llim}[2][x]{\underset{#1 \uparrow #2}{\lim\;}}
\newcommand{\lkgt}[2][x]{\underset{#1 \uparrow #2}{\longrightarrow}}

% Umdefinition von vorhandenen Befehlen
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\rho}{\varrho}
\renewcommand{\leq}{\leqslant} % Kleiner/gleich-Zeichen mit schrägem Strich 
\renewcommand{\geq}{\geqslant}  
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Bezeichnung für Real-/Imaginärteil nach Vorlesung
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % als Operator (nicht kursiv gesetzt)

% Umgebungen
\newenvironment{einrmath}{
  \[\setlength{\arraycolsep}{0.05cm}\begin{array}{ll}
}{
  \end{array}\] \\
}

\sloppy % Es werden größere Wortabstände in Kauf genommen, um nicht
        % in den Rand hinein schreiben zu müssen, was bei ungünstiger
				% Anlage der Zeilen sonst schon mal passiert  

\begin{document}
\title{Lösung zur 3. Klausur zur Analysis I}
\author{Marc Ensenbach}
\maketitle

\textbf{Aufgabe 1} (5 Punkte) \\
Zeigen Sie, dass die durch $x_1 = 2$ und $x_{n+1} = 1 + \sqrt{x_n}$ für $n \in \N$ rekursiv %%@
definierte Folge $(x_n)_{n \geq 1}$ konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
(1) Beschränktheit: Für alle $n \in \N$ gilt $2 \leq x_n \leq 4$: \\
(IA) $n=1$: $2 \leq x_1 = 2 \leq 4$. \\
(IV) Sei $n \in \N$ und gelte $2 \leq x_n \leq 4$ für dieses $n$. \\
(IS) Es ist $2 < 1 + \sqrt{2} \overset{\text{IV}}{\leq} 1 + \sqrt{x_n} = x_{n+1} %%@
\overset{\text{IV}}{\leq} 1 + \sqrt{4} = 3 < 4$. Nach dem Induktionsprinzip ist die %%@
Behauptung bewiesen. \\
(2) Monotonie: Für alle $n \in \N$ gilt $x_n \leq x_{n+1}$: \\
(IA) $n=1$: $x_1 = 2 < 1 + \sqrt{2} = x_2$. \\
(IV) Sei $n \in \N$ und gelte $x_n \leq x_{n+1}$ für dieses $n$. \\
(IS) Es gilt $x_{n+2} = 1 + \sqrt{x_{n+1}} \overset{\text{IV}}{\geq} 1 + \sqrt{x_n} = %%@
x_{n+1}$. Mit dem Induktionsprinzip folgt die Behauptung. \\
(3) Nach (1) und (2) existiert $x := \gw x_n = \gw x_{n+1} = \gw (1 + \sqrt{x_n}) %%@
\overset{\sqrt{\,} \text{ stetig}}{\underset{\text{GWS}}{=}} 1 + \sqrt{x}$. Nun ist $x = 1 %%@
+ \sqrt{x} \aeq x - 1 = \sqrt{x} \imp x^2 - 2x + 1 = x \aeq x^2 - 3x + 1 = 0 \aeq x = %%@
\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 1} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{1}{2}(3 %%@
\pm \sqrt{5})$. Da $3 - \sqrt{5} < 4$ und damit $\frac{1}{2}(3 - \sqrt{5}) < 2$ gilt, aber %%@
alle Folgenglieder größer/gleich $2$ sind, muss $x = \frac{1}{2}(3 + \sqrt{5})$ der %%@
Grenzwert der Folge sein. \\

\textbf{Aufgabe 2} (3+3 Punkte) \\
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.  
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 2a)
\item $\Sum_{n=1}^\infty a_n$ mit $a_n := \begin{cases}
\frac{1}{7^k} & \text{ für } n = 2k - 1, k \in \N, \\
\frac{1}{\sqrt[5]{k^4}} & \text{ für } n = 2k, k \in \N.
\end{cases}$ \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Da $\frac{1}{7^k} > 0$ für alle $k \in \N$ gilt, ist $\Sum_{n=1}^\infty a_n \geq %%@
\Sum_{k=1}^\infty \Frac{1}{\sqrt[5]{k^4}} = \Sum_{k=1}^\infty \Frac{1}{k^{\frac{4}{5}}}$. %%@
Wegen $\Frac{1}{k^{\frac{4}{5}}} \geq \Frac{1}{k}$ ist die harmonische Reihe divergente %%@
Minorante der Reihe $\Sum_{k=1}^\infty \Frac{1}{\sqrt[5]{k^4}}$, die somit ebenfalls %%@
divergent ist. Daraus folgt die (absolute) Divergenz der gegebenen Reihe.
\newpage
%Aufgabe 2b)
\item $\Sum_{n=1}^\infty \Frac{i^n}{\log n}$. \\ 
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Die Reihe ist nicht wohldefiniert, der Summand für $n=1$ nicht existiert. Im Folgenden wird %%@
davon ausgegangen, dass die Reihe bei $n=2$ beginnt. Mit der Abschätzung $\log n \leq n - %%@
1$ gilt $\left| \Frac{i^n}{\log n} \right| = \Frac{1}{\log n} \geq \Frac{1}{n - 1} > %%@
\Frac{1}{n}$, also ist die harmonische Reihe divergente Minorante, womit die Reihe absolut %%@
divergiert. Setze nun $a_n = i^n$ und $b_n = \Frac{1}{\log n}$, dann ist $(A_n)_{n \geq 2}$ %%@
mit $A_n := \Sum_{k=2}^n a_k$ beschränkt, denn $A_n$ nimmt wegen $A_5 = -1 - i + 1 + i = 0$ %%@
und damit $A_{4n + m} = A_m$ für $n \in \N_0$, $m \in \{2; 3; 4; 5\}$ nur endlich viele %%@
Werte an. Weiterhin gilt $b_n \kgt 0$ und $b_{n+1} \leq b_n$ für alle $n \in \N$, da %%@
$\Frac{b_n}{b_{n+1}} = \Frac{\log (n+1)}{\log n} \geq 1$ wegen der Monotonie der %%@
Logarithmusfunktion gilt. Nach dem \textsc{Dirichlet}kriterium ist dann $\Sum_{n=1}^\infty %%@
\Frac{i^n}{\log n} = \Sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ konvergent. 
\end{enumerate} 

\textbf{Aufgabe 3} (4 Punkte) \\
Sei $(a_k)_{k \geq 1}$ eine monoton fallende Folge mit den Eigenschaften $a_1 > 0$ und $2 %%@
a_{2k} > a_k$ für alle $k \in \N$. Untersuchen Sie die Reihe $\Sum_{k=1}^\infty a_k$ auf %%@
Konvergenz. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Zunächst zeige mittels vollständiger Induktion, dass $2^n a_{2^n} \geq a_1$ für alle $n \in %%@
\N_0$ gilt: \\
(IA) $n = 0$: $2^0 a_{2^0} = a_1$. \\
(IV) Sei $n \in \N_0$ und gelte $2^n a_{2^n} \geq a_1$ für dieses $n$. \\
(IS) Nach der Voraussetzung der Aufgabenstellung gilt $2 a_{2^{n+1}} = 2 a_{2 \cdot 2^n} %%@
\geq a_{2^n}$ und damit $2^{n+1} a_{2^{n+1}} = 2 \cdot 2^n a_{2^{n+1}} \geq 2^n a_{2^n} %%@
\overset{\text{IV}} \geq a_1$. Mit dem Induktionsprinzip folgt die Behauptung. \\
Aus dem Gezeigten folgt insbesondere, dass $a_{2^n} > 0$ für alle $n \in \N$ ist. Da %%@
$(a_k)_{k \geq 1}$ monoton fallend ist, müssen damit alle Folgenglieder positiv sein, also %%@
kann man die gegebene Reihe umordnen: $\Sum_{k=1}^\infty a_k = \Sum_{k=1}^\infty %%@
\Sum_{n=2^{k-1}}^{2^k-1} a_n \overset{(a_n) \text{ monoton}}{\geq} \Sum_{k=1}^\infty %%@
\Sum_{n=2^{k-1}}^{2^k-1} a_{2^k} = \Sum_{k=1}^\infty 2^{k-1} a_{2^k} = \Frac{1}{2} %%@
\Sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} \geq \Frac{1}{2} \Sum_{k=1}^\infty a_1$. Diese Reihe %%@
divergiert, da $(a_1)_{n \geq 1}$ keine Nullfolge ist. Damit divergiert auch %%@
$\Sum_{k=1}^\infty a_k$. \\

\textbf{Aufgabe 4} (3 Punkte) \\
Berechnen Sie den Wert der Reihe $\Sum_{k=0}^\infty \Frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gilt $\Sum_{k=0}^N \Frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \Sum_{k=0}^N \Frac{1}{2} \rk{\Frac{1}{2k+1} %%@
- \Frac{1}{2k+3}} = \Frac{1}{2} \rk{\Sum_{k=0}^N \Frac{1}{2k+1} - \Sum_{k=0}^N %%@
\Frac{1}{2k+3}} = \Frac{1}{2} \rk{\Sum_{k=0}^N \Frac{1}{2k+1} - \Sum_{k=1}^{N+1} %%@
\Frac{1}{2k+1}} = \Frac{1}{2} \rk{\Frac{1}{2 \cdot 0 + 1} - \Frac{1}{2 (N+1) + 1}} = %%@
\Frac{1}{2} - \Frac{1}{4 N + 6} \kgt[N] \Frac{1}{2}$, also ist $\frac{1}{2}$ der Wert der %%@
Reihe. \\

\newpage
\textbf{Aufgabe 5} (4 Punkte) \\
Es sei $(a_k)_{k \geq 1}$ eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge positiver %%@
reeller Zahlen. Zeigen Sie: Die Reihe $\Sum_{k=1}^\infty \rk{\Frac{a_{k+1}}{a_k} - 1}$ %%@
konvergiert. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Nach den Voraussetzungen der Aufgabenstellung konvergiert $(a_k)_{k \geq 1}$ gegen einen %%@
Grenzwert $a \in (0; \infty)$. Da $(a_k)_{k \geq 1}$ monoton steigend ist, gilt %%@
$\frac{a_{k+1}}{a_k} \geq 1$ für alle $k \in \N$, also $\Sum_{k=1}^\infty \left| %%@
\Frac{a_{k+1}}{a_k} - 1 \right| = \Sum_{k=1}^\infty \rk{\Frac{a_{k+1}}{a_k} - 1} = %%@
\Sum_{k=1}^\infty \Frac{a_{k+1} - a_k}{a_k} \leq \Frac{1}{a_1} \Sum_{k=1}^\infty (a_{k+1} - %%@
a_k) = \Frac{1}{a_1} \gw \Sum_{k=1}^n (a_{k+1} - a_k) = \Frac{1}{a_1} \gw (a_{n+1} - a_1) = %%@
\Frac{1}{a_1} (a - a_1)$, also ist $\Sum_{k=1}^\infty \rk{\Frac{a_{k+1}}{a_k} - 1}$ nach %%@
dem Majorantenkriterium (absolut) konvergent. \\

\textbf{Aufgabe 6} (3+3+3 Punkte) \\
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen. 
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 6a)
\item $\Sum_{n=0}^\infty \dbinom{2n}{n} z^n$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Setze $a_n = \dbinom{2n}{n} z^n$, dann ist $\left| \Frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = %%@
\Frac{(2(n+1))! |z|^{n+1}}{(n+1)! (n+1)!} \cdot \Frac{n! n!}{(2n)! |z|^n} = %%@
\Frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)(n+1)} |z| = \Frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 2n + 1} |z| = \Frac{4 + %%@
\frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} |z| %%@
\overset{\text{GWS}}{\kgt} 4 |z|$. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe damit %%@
für $|z| < \frac{1}{4}$ und divergiert für $|z| > \frac{1}{4}$, also ist $\frac{1}{4}$ der %%@
Konvergenzradius der Reihe. 
%Aufgabe 6b)
\item $\Sum_{n=0}^\infty \arctan(n) z^n$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gilt $\arctan n \kgt \frac{\pi}{2} > 1$, also gibt es ein $n_0 \in \N$ mit $\arctan n %%@
\geq 1$ für alle $n \geq n_0$. Für $n \geq n_0$ ist damit $1 = \sqrt[n]{1} \leq %%@
\sqrt[n]{\arctan n} \leq \sqrt[n]{\frac{\pi}{2}} \kgt 1$, also konvergiert %%@
$\sqrt[n]{\arctan n}$ nach dem Sandwichlemma gegen $1$. Mit \textsc{Cauchy-Hadamard} folgt, %%@
dass $1$ der Konvergenzradius der Reihe ist.
%Aufgabe 6c)
\item $\Sum_{n=0}^\infty \exp(-n) z^n$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gilt $\sqrt[n]{\exp(-n)} = \exp(-1) = \frac{1}{e}$, also ist nach %%@
\textsc{Cauchy-Hadamard} $e$ der Konvergenzradius der Potenzreihe. 
\end{enumerate}  

\textbf{Aufgabe 7} (2+3+3 Punkte) \\
Untersuchen Sie folgende Grenzwerte auf Existenz und bestimmen Sie sie gegebenenfalls. 
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 7a)
\item $\rlim{0} (-1)^{[\frac{1}{x}]}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gilt $x_n = \frac{1}{2n} \kgt 0$ mit $x_n > 0$ für alle $n \in \N$ und %%@
$(-1)^{[\frac{1}{x_n}]} = (-1)^{2n} = 1 \kgt 1$, weiterhin gilt $y_n = \frac{1}{2n+1} \kgt %%@
0$ mit $y_n > 0$ für alle $n \in \N$ und $(-1)^{[\frac{1}{y_n}]} = (-1)^{2n+1} = -1 \kgt %%@
-1$, also kann der gesuchte Grenzwert nicht existieren. 
%Aufgabe 7b)
\item $\gw[x] \Frac{(2 - \frac{3}{\sqrt{x}})^3 \rk{\Sum_{n=0}^\infty \Frac{1}{x^n}} - 1}{1 %%@
+ \frac{1}{2^x} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Wegen $\gw[x] \frac{1}{x} = 0$ und der Stetigkeit der Potenzreihe $x \mapsto %%@
\Sum_{n=0}^\infty x^n$ in $(-1; 1)$ gilt mit den GWS $\gw[x] \Frac{(2 - %%@
\frac{3}{\sqrt{x}})^3 \rk{\Sum_{n=0}^\infty \Frac{1}{x^n}} - 1}{1 + \frac{1}{2^x} - %%@
\frac{1}{\sqrt[4]{x}}} = \Frac{(2 - \gw[x] \frac{3}{\sqrt{x}})^3 \rk{\Sum_{n=0}^\infty %%@
\rk{\gw[x] \Frac{1}{x}}^n} - 1}{1 + \gw[x] \frac{1}{2^x} - \gw[x] \frac{1}{\sqrt[4]{x}}} = %%@
\Frac{2^3 \cdot 1 - 1}{1 + 0 - 0} = 7$.   
%Aufgabe 7c)
\item $\rlim{0} \rk{\Frac{1}{x} - \Frac{1}{e^x - 1}}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Nach der Regel von \textsc{L'Hospital} ist $\rlim{0} \rk{\Frac{1}{x} - \Frac{1}{e^x - 1}} = %%@
\rlim{0} \Frac{e^x - 1 - x}{x e^x - x} \overset{"`\frac{0}{0}"'}{=} \rlim{0} \Frac{e^x - %%@
1}{e^x + x e^x - 1} \overset{"`\frac{0}{0}"'}{=} \rlim{0} \Frac{e^x}{2e^x + x e^x} %%@
\overset{\text{GWS}}{=} \Frac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\textbf{Aufgabe 8} (5 Punkte) \\
Seien $f: [0;1] \to \R$ und $g: [0;1] \to \R$ stetig. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition %%@
der gleichmäßigen Stetigkeit, dass $f \cdot g$ gleichmäßig stetig ist. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Da $f$ und $g$ als stetige Funktionen auf einem Kompaktum beschränkt sind, gibt es ein $M %%@
\in \R$ mit $|f(x)|, |g(x)| \leq M$ für alle $x \in [0;1]$. Sei nun $\eps > 0$. Da $f$ und %%@
$g$ als stetige Funktionen auf einem Kompaktum gleichmäßig stetig sind, gibt es $\delta_1, %%@
\delta_2 > 0$ mit $|f(x) - f(y)| < \frac{\eps}{2M}$ für alle $x,y \in [0;1]$ mit $|x-y| < %%@
\delta_1$ und $|g(x) - g(y)| < \frac{\eps}{2M}$ für alle $x,y \in [0;1]$ mit $|x-y| < %%@
\delta_2$. Setze $\delta = \min \{\delta_1; \delta_2\}$, dann gilt für alle $x,y \in [0;1]$ %%@
mit $|x-y| < \delta$: $|(fg)(x) - (fg)(y)| = |f(x) g(x) - f(y) g(y)| = |f(x) g(x) - f(y) %%@
g(x) + f(y) g(x) - f(y) g(y)| \leq |f(x) g(x) - f(y) g(x)| + |f(y) g(x) - f(y) g(y)| = %%@
|g(x)| \cdot |f(x) - f(y)| + |f(y)| \cdot |g(x) - g(y)| \leq M \cdot |f(x) - f(y)| + M %%@
\cdot |g(x) - g(y)| < M \frac{\eps}{2 M} + M \frac{\eps}{2 M} = \eps$, also ist $f \cdot g$ %%@
nach Definition gleichmäßig stetig. \\

\textbf{Aufgabe 9} (5 Punkte) \\
Untersuchen Sie die Funktion \[
f: \R \to \R, x \mapsto \begin{cases}
x^2 (1 + \log |x|) & \text{für } x \neq 0, \\
0 & \text{für } x = 0
\end{cases}
\]
auf Differenzierbarkeit, berechnen Sie gegebenenfalls die Ableitung und untersuchen Sie %%@
diese auf Stetigkeit. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Für $x < 0$ ist $f(x) = x^2 (1 + \log (-x))$, für $x > 0$ ist $f(x) = x^2 (1 + \log x)$, %%@
also ist $f$ für $x \neq 0$ als Verknüpfung/Verkettung elementarer Funktionen %%@
differenzierbar. Betrachte nun die Stelle $0$: $\fgw[h]{0} \Frac{f(h) - f(0)}{h} = %%@
\fgw[h]{0} \Frac{h^2 (1 + \log |h|)}{h} = \fgw[h]{0} h (1 + \log |h|) = \fgw[h]{0} (h + h %%@
\log |h|) \overset{\text{GWS}}{=} \fgw[h]{0} h \log |h|$. Es gilt $\rlim[h]{0} h \log |h| = %%@
\rlim[h]{0} h \log h = 0$ nach Vorlesung, weiterhin ist $\llim[h]{0} h \log |h| = %%@
\llim[h]{0} h \log(-h) = \rlim[h]{0} (-h) \log h = 0$, also existiert der Grenzwert des %%@
Differenzenquotienten. Damit ist $f$ in $0$ differenzierbar mit Ableitung $0$. Für $x<0$ %%@
hat man nach den Ableitungsregeln $f'(x) = 2x (1 + \log (-x)) + x^2 \frac{1}{x} = x (3 + 2 %%@
\log (-x))$, für $x > 0$ ist $f'(x) = 2x (1 + \log x) + x^2 \frac{1}{x} = x(3 + 2 \log x)$, %%@
also lautet die Ableitung insgesamt
\[
f': \R \to \R, x \mapsto \begin{cases}
x(3 + 2 \log |x|) & \text{für } x \neq 0, \\
0 & \text{für } x = 0.
\end{cases}
\]
Es gilt $\fgw[x]{0} f'(x) = \fgw[x]{0} x(3 + 2 \log |x|) = \fgw[x]{0} (3x + 2 x \log |x|)$. %%@
Wie oben erhält man, dass dieser Grenzwert $0 = f'(0)$ ist, also ist $f'$ in $0$ stetig. Da %%@
$f'$ auf $\R \setminus \{0\}$ als Verkettung stetiger Funktionen stetig ist, ist $f'$ %%@
insgesamt auf ganz $\R$ stetig. \\

\textbf{Aufgabe 10} (5 Punkte) \\
Sei $f: \R \to \R$ differenzierbar und $a \in \R$ mit $f(a) \neq 0$. Berechnen Sie den %%@
Grenzwert 
\[
\gw \rk{\Frac{f(a + \frac{1}{n})}{f(a)}}^n.
\]
\textit{Hinweis:} Wenden Sie zunächst -- für geeignete $n$ -- den Logarithmus auf den %%@
Ausdruck an. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es ist $\log \rk{\Frac{f(a + \frac{1}{n})}{f(a)}}^n = n (\log (f(a + \frac{1}{n})) - \log %%@
f(a)) = \Frac{\log (f(a + \frac{1}{n})) - \log f(a)}{\frac{1}{n}} \kgt (\log \circ f)'(a) = %%@
\Frac{f'(a)}{f(a)}$. Damit ist $\gw \rk{\Frac{f(a + \frac{1}{n})}{f(a)}}^n = \gw \exp %%@
\rk{\log \rk{\Frac{f(a + \frac{1}{n})}{f(a)}}^n}$. Da $x \mapsto \exp x$ stetig ist, ist %%@
dieser Ausdruck gleich $\exp \rk{\gw \log \rk{\Frac{f(a + \frac{1}{n})}{f(a)}}^n} = \exp %%@
\rk{\Frac{f'(a)}{f(a)}}$. \\

\textbf{Aufgabe 11} (4 Punkte) \\
Es seien $D \subset \R$, $D \neq \emptyset$, $D$ offen, $n \in \N$ und $f_k: D \to \R %%@
\setminus \{0\}$ differenzierbar für $k = 1, \ldots, n$. Zeigen Sie, dass $F_n := %%@
\Prod_{k=1}^n f_k$ differenzierbar ist mit $\Frac{F_n'}{F_n} = \Sum_{k=1}^n %%@
\Frac{f'_k}{f_k}$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Zeige diese Aussage mit vollständiger Induktion nach $n$. \\
(IA) $n=1$: Nach der Aufgabenstellung ist $f_1$ differenzierbar. Es gilt $\Frac{F_1'}{F_1} %%@
= \Frac{f_1'}{f_1} = \Sum_{k=1}^1 \Frac{f_k'}{f_k}$. \\
(IV) Sei $n \in \N$ und gelte die Behauptung für dieses $n$. \\
(IS) $F_{n+1} = F_n f_{n+1}$ ist als Produkt differenzierbarer Funktionen differenzierbar. %%@
Es gilt $\Frac{F_{n+1}'}{F_{n+1}} = \Frac{(F_n f_{n+1})'}{F_n f_{n+1}} = \Frac{F_n' f_{n+1} %%@
+ F_n f_{n+1}'}{F_n f_{n+1}} = \Frac{F_n'}{F_n} + \Frac{f_{n+1}'}{f_{n+1}} %%@
\overset{\text{IV}}{=} \Sum_{k=1}^n \Frac{f_k'}{f_k} + \Frac{f_{n+1}'}{f_{n+1}} = %%@
\Sum_{k=1}^{n+1} \Frac{f_k'}{f_k}$. Dies ist die Aussage für $n+1$, also ist die Behauptung %%@
mit dem Induktionsprinzip bewiesen. \\

\textbf{Aufgabe 12} (4 Punkte) \\
Die Funktionen $f: I \to \R$ und $g: I \to \R$ seien auf dem Intervall $I := (-r; r)$ mit %%@
$r > 0$ differenzierbar. Zusätzlich gelte $f(x) g(x) = x$ für alle $x \in I$ und $f(0) = %%@
0$. Zeigen Sie: $g(0) \neq 0$. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Es gilt $1 = (fg)'(0) = f(0) g'(0) + f'(0) g(0) \overset{f(0)=0}{=} f'(0) g(0)$, also muss %%@
$f'(0), g(0) \neq 0$ gelten. \\

\textbf{Aufgabe 13} (3 Punkte) \\
Sei $f: \R \to \Q$ stetig. Zeigen Sie, dass $f$ konstant ist. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Annahme: $f$ ist nicht konstant. Dann gibt es $x_1, x_2 \in \R$ mit $f(x_1) =: y_1 \neq y_2 %%@
:= f(x_2)$ (o.\,B.\,D.\,A. sei $y_1 < y_2$). Nun gibt es ein $y \in (y_1; y_2)$ mit $y \in %%@
\R \setminus \Q$. Da $f$ stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein $x \in \R$ mit %%@
$f(x) = y$. \lightning{} zum Zielbereich, also muss $f$ konstant sein. \\

\textbf{Aufgabe 14} (2+2+2 Punkte)
\begin{enumerate}[a)]
%Aufgabe 14a)
\item Geben Sie eine exakte Formulierung des Satzes von \textsc{Bolzano-Weierstraß} in der %%@
Mengenversion an. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Jede beschränkte, unendliche Teilmenge von $\R$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt. 
%Aufgabe 14b)
\item Formulieren Sie exakt die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit. \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Sei $D \subset \R$. Eine Funktion $f: D \to \R$ heißt gleichmäßig stetig, wenn zu jedem %%@
$\eps > 0$ ein $\delta > 0$ existiert, so dass $|f(x) - f(y)| < \eps$ für alle $x,y \in D$ %%@
mit $|x-y| < \delta$ gilt.
%Aufgabe 14c)
\item Formulieren Sie exakt die Definition der Folgenkompaktheit. Wie ist der Zusammenhang %%@
zwischen der Folgenkompaktheit und Kompaktheit? \\
\parbox{4cm}{\hrulefill} \\
Eine Menge $M$ heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in $M$ einen Häufungspunkt in $M$ hat. %%@
Folgenkompaktheit und Kompaktheit sind äquivalent. 
\end{enumerate}

\end{document}
