Übungsaufgaben zur Analysis I, 1. Blatt

Marc Ensenbach

29. März 2002

Aufgabe 1 Man beweise mittels vollständiger Induktion:

a) Für alle n ∈ ℕ gilt ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k−1}k = \frac{1}{4}(1 + (−1)^{n−1}(2n + 1)).

b) Für alle n ∈ ℕ gilt n! ⩽ n^{n−1}.

Aufgabe 2 Es seien (x_{n})_{n⩾1} und (y_{n})_{n⩾1} komplexe Folgen. Man zeige: Konvergieren die Folgen (x_{n} + y_{n})_{n⩾1} und (x_{n} − y_{n})_{n⩾1}, so konvergiert auch die Folge (x_{n}y_{n})_{n⩾1}.

Aufgabe 3 Untersuche die Folgen (a_{n})_{n⩾1} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

a) a_{n} = \sqrt[n]{a^{n} + (1 + (−1)^{n}) log (a + 1)^{n}} für a ∈ ℝ, a ⩾ 0.

b) a_{n} = (\frac{1 + i}{a + i})^{n} für a ∈ ℝ.

Aufgabe 4

Man untersuche die durch a_{1} = 0 und a_{n+1} = \frac{4a_{n} + 3}{a_{n} + 2} für n ∈ ℕ definierte rekursive Folge auf

Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe 5

Man bestimme die Häufungspunktmenge der Folge (a_{n})_{n⩾1} mit a_{n} = \frac{i^{\frac{n(n+1)}{2}}}{\frac{1}{2n} + i^{n}}.

Aufgabe 6 Gegeben sei die Menge M = \{\frac{2m−1}{n} | m ∈ ℕ, n ∈ ℕ\}.

a) Man bestimme inf M und sup M und untersuche, ob M ein Minimum bzw. Maximum hat.

b) Man bestimme die Häufungspunktmenge von M.

c) Man untersuche M auf Offenheit.

d) Man untersuche M auf Abgeschlossenheit.

Aufgabe 7 Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{n}}{n!3^{n}},  b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}},  c) ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}).

Übungsaufgaben zur Analysis I, 1. Blatt  Marc Ensenbach

Aufgabe 8 Man berechne die Werte der folgenden Reihen:

a) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{2n + 1}{n(n + 1)}, b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{i^{n^{2}}}{2^{n}}.

Aufgabe 9 Man bestimme die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{3}}{n!} z^{n},  b) ∑_{n=0}^{∞}(\sqrt{n})^{\sqrt{n}}z^{n},  c) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} z^{n},  d) ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{3^{n}} z^{n^{2}}.

Aufgabe 10 Man zeige: Eine monoton wachsende Funktion f : [a; b] → [a; b], a, b ∈ ℝ, a < b, hat einen Fixpunkt, nämlich sup{x ∈ [a; b] | x ⩽ f(x)}.

Aufgabe 11 Es sei f : ℝ → ℝ eine Funktion, x_{0} ∈ ℝ und g : (0; ∞) → ℝ, h ↦ sup f((x_{0} − h; x_{0} + h)) − inf f((x_{0} − h; x_{0} + h)). Man zeige: f ist genau dann stetig in x_{0}, wenn lim_{h→0}g(h) = 0 ist.

Aufgabe 12 Man untersuche folgende Grenzwerte auf Existenz und bestimme sie gegebenenfalls:

a) lim_{x→0} \frac{sin x^{2}}{x − 1 + \frac{1}{x+1}} ,  b) lim_{x↓0}(log(x + x^{b}) − log x), b ∈ ℝ,  c) lim_{x→0}(\frac{1}{x+x^{2}} − [\frac{1}{x}]).

Aufgabe 13 Man bestimme alle Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktionen:

a) f : ℝ → ℝ, x ↦ (x^{2} − x)[x].

b) f : ℝ → ℝ, x ↦ \begin{cases}3x^{3} + 3x^{2} + 3 & für x ∈ M, \\ x^{2} + x + 3 & für x ∉ M, \end{cases} wobei M = ⋃_{n∈ℕ} (\frac{1}{2n + 1}; \frac{1}{2n}).

Aufgabe 14 Man zeige, daß die Gleichung sin \frac{1}{x} = x − e^{x−1} eine Lösung x ∈ ℝ hat.

Aufgabe 15 Man zeige: Ist f : ℝ → ℝ stetig und U ⊂ ℝ offen, so ist auch f^{−1}(U) offen.

Aufgabe 16 Man zeige: Ist f : ℝ → ℝ gleichmäßig stetig, so existiert eine Konstante c ∈ ℝ, so daß |f(x)| ⩽ c(|x| + 1) für alle x ∈ ℝ gilt.

Aufgabe 17 Man untersuche folgende Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in 0:

a) f : ℝ → ℝ, x ↦ cos | log(x + 1)|.

b) f : ℝ → ℝ, x ↦ \begin{cases}x^{k} sin log |x| & für x ≠ 0, \\ 0 & für x = 0, \end{cases} wobei k ∈ ℕ_{0} ist.

Aufgabe 18 Seien ε > 0, x_{0} ∈ ℝ und f, g : [x_{0} − ε; x_{0} + ε] → ℝ stetige Funktionen. Man zeige: Gilt g(x_{0}) = 0 und ist g in x_{0} differenzierbar, so ist auch h : x ↦ f(x)g(x) differenzierbar in x_{0}.