Übungsaufgaben zur Analysis I, 2. Blatt

Marc Ensenbach

8. April 2002

Aufgabe 1 Es sei f^{(0)} := f und für n ∈ ℕ sei f^{(n)} := (f^{(n−1)})′.

a) Man zeige formal: Für m, n ∈ ℕ_{0} ist (f^{(m)})^{(n)} = f^{(m+n)}.

b) Ist f : ℝ → ℝ, x ↦ x^{2}e^{x}, so gilt f^{(n)}(x) = (n(n − 1) + 2nx + x^{2})e^{x} für alle n ∈ ℕ_{0}.

Aufgabe 2

Man zeige: \frac{a + b + |a − b|}{2} = max\{a; b\}.

Aufgabe 3 Man zeige: Für z ∈ ℂ gilt |z| = 1 genau dann, wenn es ein w ∈ ℂ gibt mit w\overline{w}^{−1} = z.

Aufgabe 4 Man berechne die Grenzwerte der Folgen (a_{n})_{n⩾1} oder zeige, daß diese nicht existieren.

a) a_{n} = (1 + \frac{1}{n + a})^{n} für a ∈ [0; ∞), b) a_{n} = e^{n!πir} für r ∈ ℚ.

Aufgabe 5 Sei φ : ℕ → ℕ injektiv. Man zeige: lim inf_{n→∞} \sqrt[φ(n)]{n} = 1.

Aufgabe 6 Man untersuche die durch a_{1} = 0 und a_{n+1} = 2 + \sqrt{a_{n}} für n ∈ ℕ rekursiv definierte Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert.

Aufgabe 7 Man bestimme die Häufungspunktmenge der Folge (a_{n})_{n⩾1} mit a_{n} = \sqrt[n]{|a^{n} + 2^{n}|} für a ∈ ℝ.

Aufgabe 8

a) Seien A, B ⊂ ℝ kompakt. Man zeige, daß auch A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B} kompakt ist.

b) Gilt die Aussage aus Teil a) auch noch, wenn man ”kompakt“ durch ”abgeschlossen“ ersetzt?

Aufgabe 9 Es sei M = \{\frac{x}{1+x^{2}} | x ∈ ℝ\}.

a) Man bestimme sup M, inf M und gegebenenfalls max M und min M.

b) Man bestimme die Häufungspunktmenge von M.

c) Man untersuche M auf Offenheit und Abgeschlossenheit.

Übungsaufgaben zur Analysis I, 2. Blatt  Marc Ensenbach

Aufgabe 10

Man berechne den Wert der Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{k^{2}}{2^{k}}.

Aufgabe 11 Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

a) ∑_{k=1}^{∞} (1 − \frac{1}{k})^{k^{2}},  b) ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} sin \frac{1}{k},  c) ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \sqrt[k]{k}.

Aufgabe 12 Man bestimme die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen.

a) ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2^{k+1}} z^{k},  b) ∑_{k=1}^{∞} (z sin \frac{1}{k})^{k},  c) ∑_{k=1}^{∞} k^{\frac{log k}{k}} z^{k},  d) ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k^{2}}} z^{\frac{k(k+1)}{2}} .

Aufgabe 13

Sei φ : ℕ_{0} → ℕ_{0} injektiv. Man zeige: Für den Konvergenzradius R der Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{φ(n)}

gilt \frac{1}{R} = lim sup_{n→∞} \sqrt[φ(n)]{|a_{n}|}.

Aufgabe 14 Man bestimme alle Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktionen.

a) f : (0; ∞) → ℝ, x ↦ [x] − \frac{[x]^{2}}{x}, b) f : ℝ → ℝ, x ↦ \begin{cases}x^{2} + a & für x ∈ ℚ, \\ 2x & für x ∉ ℚ, \end{cases} wobei a ∈ ℝ.

Aufgabe 15 Man zeige: Ist D ⊂ ℝ und sind f, g : D → ℝ stetig in x_{0} ∈ D, so ist auch h : x ↦ max{f(x); g(x)} stetig in x_{0}.

Aufgabe 16

Man zeige: Ist p : ℝ → ℝ, x ↦ ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} ein Polynom, m ∈ ℕ und f : (0; ∞) → ℝ,

x ↦ p(x) sin \frac{1}{x^{m}}, so gibt es ein R > 0, so daß \frac{1}{4}|a_{n}| · |x|^{n−m} ⩽ |f(x)| ⩽ 4|a_{n}| · |x|^{n−m} für alle x ∈ ℂ mit |x| > R gilt.

Aufgabe 17 Man untersuche folgende Grenzwerte auf Existenz und bestimme sie gegebenenfalls.

a) lim_{x→0} \frac{|x|^{n−1} sin x}{x^{n}} für n ∈ ℤ, b) lim_{x→∞}x^{\frac{1}{x}}.

Aufgabe 18 Man zeige: Ist f : ℝ → ℝ monoton, a_{n} = f(n) für n ∈ ℕ und gilt lim_{n→∞}a_{n} = a ∈ ℝ ∪ {∞; −∞}, so ist auch lim_{x→∞}f(x) = a.

Aufgabe 19

Man untersuche f : ℝ → ℝ, x ↦ \begin{cases}e^{− \frac{1}{x}} & für x > 0, \\ 0 & sonst \end{cases} auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in 0.