Aufgabe: Sei (a_{n})_{n⩾1} eine komplexe Folge mit |a_{n+2} − a_{n+1}| < \frac{1}{n}|a_{n+1} − a_{n}| für alle n ∈ ℕ. Man zeige, dass (a_{n})_{n⩾1} konvergent ist. Lösung:

(1) Behauptung: Für alle n_{0} ∈ ℕ und k ∈ ℕ_{0} gilt

|a_{n_{0}+k+1} − a_{n_{0}+k}| ⩽ ∏_{j=0}^{k−1} \frac{1}{n_{0} + j} |a_{n_{0}+1} − a_{n_{0}}|.

Beweis durch vollständige Induktion nach k. (IA) Sei n_{0} ∈ ℕ, dann gilt die Aussage klarerweise für k = 0. (IV) Sei k ∈ ℕ_{0} mit

|a_{n_{0}+k+1} − a_{n_{0}+k}| ⩽ ∏_{j=0}^{k−1} \frac{1}{n_{0} + j} |a_{n_{0}+1} − a_{n_{0}}|

für alle n_{0} ∈ ℕ. (IS) Es gilt

\begin{aligned}|a_{n_{0}+k+2} − a_{n_{0}+k+1}| & ⩽^{Vor.} \frac{1}{n_{0} + k} |a_{n_{0}+k+1} − a_{n_{0}+k}| ⩽^{(IV)} \frac{1}{n_{0} + k} ∏_{j=0}^{k−1} \frac{1}{n_{0} + j} |a_{n_{0}+1} − a_{n_{0}}| \\ & = ∏_{j=0}^{k} \frac{1}{n_{0} + j} |a_{n_{0}+1} − a_{n_{0}}|. \end{aligned}

Dies ist die Aussage für n + 1. Mit dem Induktionsprinzip folgt die Behauptung.

(2) Sei ε > 0. Wähle N ∈ ℕ mit N > \frac{2}{ε|a_{2}−a_{1}|} + 1 (existiert nach Archimedischem Prinzip, da |a_{2} − a_{1}| ≠ 0 gelten muss, denn sonst wäre nach Voraussetzung |a_{3} − a_{2}| < |a_{2} − a_{1}| = 0 im Widerspruch zur Betragsdefinition). Für m, n ⩾ N mit m ⩾ n (o. B. d. A.) gilt dann

|a_{m} − a_{n}| = | ∑_{k=n+1}^{m} a_{k} − ∑_{k=n}^{m−1} a_{k}| = |∑_{k=n}^{m−1} a_{k+1} − ∑_{k=n}^{m−1} a_{k}|

= |∑_{k=n}^{m−1}(a_{k+1} − a_{k})| ⩽^{△-Ungl.} ∑_{k=n}^{m−1} |a_{k+1} − a_{k}| = ∑_{k=0}^{m−n−1} |a_{n+k+1} − a_{n+k}|

⩽^{(1)} ∑_{k=0}^{m−n−1} ∏_{j=0}^{k−1} \frac{1}{n + j} |a_{n+1} − a_{n}| ⩽ ∑_{k=0}^{m−n−1} ∏_{j=0}^{k−1} \frac{1}{n}|a_{n+1} − a_{n}|

= ∑_{k=0}^{m−n−1} (\frac{1}{n})^{k} |a_{n+1} − a_{n}| =^{geom. Summe} \frac{1 − (\frac{1}{n})^{m−n}}{1 − \frac{1}{n}} |a_{n+1} − a_{n}|

⩽ \frac{1}{1 − \frac{1}{n}} |a_{n+1} − a_{n}| ⩽^{n⩾N⩾2} 2|a_{n+1} − a_{n}| ⩽^{(1),n_{0}=1} 2 ∏_{j=0}^{n−2} \frac{1}{1 + j} |a_{2} − a_{1}|

⩽ 2\frac{1}{n − 1}|a_{2} − a_{1}| ⩽ 2\frac{1}{N − 1}|a_{2} − a_{1}| < 2 \frac{1}{\frac{2}{ε|a_{2}−a_{1}|}} |a_{2} − a_{1}| = ε,

also ist (a_{n})_{n⩾1} nach dem Cauchy-Kriterium konvergent.