Übungen zur 2. Klausur zur Analysis I

Marc Ensenbach

16. Dezember 2003

Aufgabe 1 Man untersuche jeweils (a_{n})_{n⩾1} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

a) a_{n} = (1 + \frac{2}{n})^{n},  b) a_{n} = (\frac{n + 1}{2n})^{n},  c) a_{n} = (1 − \frac{1}{n + 1})^{−n!}.

Aufgabe 2 Sei c ∈ ℂ. Man bestimme alle Häufungspunkte der Folge (a_{n})_{n⩾1} mit a_{n} = \sqrt[n]{|c + (−1)^{n}|} für n ∈ ℕ.

Aufgabe 3 Die Folge (a_{n})_{n⩾1} sei gegeben durch a_{1} = 0 und a_{n+1} = \frac{a_{n}^{2}−3}{2a_{n}−4} für n ∈ ℕ. Man zeige, dass die Folge wohldefiniert ist, untersuche sie auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert.

Aufgabe 4 Sei (a_{n})_{n⩾1} eine reelle Folge mit |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ⩽ 1 für alle n ∈ ℕ. Man zeige, dass (a_{n})_{n⩾1} höchstens zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt.

Aufgabe 5 Sei M = \{2n + \frac{x}{|x|+1} | n ∈ ℕ, x ∈ ℝ\}. Man bestimme die Häufungspunkte, die inneren und die isolierten Punkte von M und untersuche M auf Offenheit und Abgeschlossenheit.

Aufgabe 6 Sei M ⊂ ℝ sowohl offen als auch abgeschlossen. Man zeige, dass M = ∅ oder M = ℝ gilt.

Aufgabe 7 Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz.

a) ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} (e − (1 + \frac{1}{k})^{k}),  b) ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k}(2 + (−1)^{k})\frac{1}{k},  c) ∑_{k=1}^{∞} \frac{\sqrt{k^{2} − 1}}{k^{2}},

d) ∑_{k=1}^{∞} a_{k} mit a_{k} = \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{k}}, & falls ein m ∈ ℕ mit k = m^{4} existiert , \\ \frac{1}{k^{2}} & sonst. \end{cases} Aufgabe 8 Man berechne jeweils den Wert der Reihe.

a) ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{\binom{k}{2}}}{2^{k}}, b) ∑_{k=0}^{∞} \frac{k}{(k + 1)!} (Hinweis: Teleskopsumme).

Aufgabe 9 Sei (a_{k})_{k⩾0} eine komplexe Folge.

a) Man zeige: Ist ∑_{k=0}^{∞} a_{k} absolut konvergent, so ist ∑_{k=0}^{∞} a_{k}^{2} konvergent.
b) Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} an, für die ∑_{k=0}^{∞} a_{k}^{2} nicht konvergiert.

Aufgabe 10 Sei (a_{k})_{k⩾0} eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen und (n_{k})_{k⩾0} eine streng monoton steigende Indexfolge. Man zeige:

a) Ist ∑_{k=0}^{∞} a_{k} konvergent, so ist auch ∑_{k=0}^{∞}(n_{k+1} − n_{k})a_{n_{k+1}} konvergent.
b) Ist ∑_{k=0}^{∞}(n_{k+1} − n_{k})a_{n_{k}} konvergent, so ist auch ∑_{k=0}^{∞} a_{k} konvergent.

Aufgabe 11 Man bestimme die Konvergenzradien der gegebenen Potenzreihen.

a) ∑_{k=0}^{∞}(3^{k} + 3^{−k})z^{k},  b) ∑_{k=0}^{∞}(1 + (−1)^{k})z^{k},  c) ∑_{k=0}^{∞} \binom{3k}{k}z^{2k},

d) ∑_{k=0}^{∞} 2^{k}z^{k!}.

Aufgabe 12

Sei (a_{k})_{k⩾0} eine komplexe Folge mit 0 < lim sup_{k→∞} |a_{k}| < ∞. Man zeige, dass die Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k}

den Konvergenzradius 1 hat.