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LEHRSTUHL A
FÜR MATHEMATIK
Analysis und Zahlentheorie
RWTH Aachen

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Eine Kachelung der oberen Halbebene H


Die spezielle lineare Gruppe SL_2(Z)  operiert auf H={tau in C; Im(tau) > 0}  vermöge

M<tau>

Da -E trivial operiert, induziert das eine Operation der projektiven linearen Gruppe PSL_2(Z)=SL_2(Z)/{+/- E}  auf H. Der Fundamentalbereich

{tau in H; |Re tau |<=1/2 und |tau|>=1}

enthält ein Vertretersystem der Bahnen SL_2(Z) tau, tau in H. Insbesondere hat F  die folgenden Eigenschaften:

  1. Zu jedem tau in H  gibt es ein M in SL_2(Z)  mit M<tau> in F.
  2. Gehören tau  und M<tau>, M in SL_2(Z), zum offenen Kern von F, so gilt M=+/-E.
  3. F  ist zusammenhängend und relativ abgeschlossen.

Daraus ergibt sich die Kachelung (Zweifärbung)

H=U_{M in SL_2(Z)} M<F>

mit Überschneidungen nur auf den Rändern.


Um diese Kachelung nun mit 2 Farben zu realisieren, benutzt man, dass SL_2(Z)  von den Matrizen

T=\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{matrix}  und J=\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{matrix}

erzeugt wird. Dabei operiert T als Translation tau -> tau + 1  und J als Inversion tau -> -1/tau. Im Poster wurde die Abkürzung U=TJ=\begin{matrix} -1 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}  verwendet. Dann ergibt sich die Färbung des Posters folgendermaßen:

Multipliziert man einen gegebenen Fundamentalbereich G der Farbe g (1 oder -1) mit J oder T, so besitzt JG bzw. TG die Farbe -g.

Bemerkungen:

  1. Die Vereinigung der beschrifteten Kacheln ist ein Fundamentalbereich für die Hauptkongruenzgruppe
    SL_2(Z)[3]={M in SL_2(Z); M=E mod 3}
  2. Alle Fundamentalbereiche haben denselben hyperbolischen Flächeninhalt bezüglich des Volumenelements y-2dxdy, wobei x der Realteil und y der Imaginärteil von tau  sind.
  3. Man kann PSL_2(Z)  als freies Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2 (erzeugt von J als Element der PSL_2(Z))  und einer zyklischen Gruppe der Ordnung 3 (erzeugt von U als Element der PSL_2(Z)). Deswegen ist obige Färbung wohldefiniert.
  4. Bei weiterem Interesse empfiehlt sich der Besuch der Vorlesungen Höhere Funktionentheorie bzw. Siegelsche Modulformen und die Lektüre entsprechender Bücher der Funktionentheorie/Zahlentheorie, wie z.B. Koecher, Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen.
  5. Das Poster ist in den folgenden Dateiformaten erhältlich: Diese Beschreibung ist auch im PostScript-Format und im PDF-Format erhältlich.
    Bemerkung: Wegen der großen einfarbigen Flächen macht es keinen Sinn, das Poster in das JPEG-Format zu konvertieren, da das Bild dabei entweder einen gravierenden Qualitätsverlust erleidet oder größer wird als das entsprechende Bild im PNG-Format.

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