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Algebra, WS 2009/10

Herzlich willkommen auf der Webseite zur Veranstaltung »Algebra« im Wintersemester 2009/10.

Neuigkeiten

Vorlesungsplan

04.02.2010	Der Struktursatz für einfache Algebren, der Satz von Wedderburn-Artin (Struktursatz für halbeinfache Algebren), der Fundamentalsatz der Algebra mit algebraischem Beweis.
02.02.2010	Halbeinfache Moduln über Algebren, Charakterisierung der Endomorphismen von (halbeinfachen) Algebren, die inverse Algebra, einfache und halbeinfache Algebren.
28.01.2010	Moduln über Algebren, Eigenschaften von Modulhomomorphismen, der Zusammenhang zwischen Moduln und Darstellungen, Homomorphismen von Darstellungen, Idempotente und Partitionen der Eins, einfache Moduln, das Lemma von Schur.
26.01.2010	Algebren, Homomorphismen von Algebren, die Quotientenalgebra, Homomorphiesatz für Algebren, Algebren mit Eins, Klassifikation der zweidimensionalen Algebren mit Eins, Divisionsalgebren, das Zentrum einer Algebra, Darstellung einer Algebra in einem Vektorraum.
21.01.2010	elementarsymmetrische Polynome, der Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome, das Kriterium von Dedekind (Reduktionskriterium), Berechnung der Galoisgruppe im Grad 4 mit Hilfe der Ferrari-Resolvente, Berechnung der Galoisgruppen von Polynomen vom Grad 5.
19.01.2010	Elementare Konstruktionen, die Menge der konstruierbaren Punkte bildet einen quadratisch abgeschlossenen Teilkörper der komplexen Zahlen, Zusammenhang zwischen Konstruierbarkeit von Punkten und 2-Radikalerweiterungen, das Delische Problem, Konstruktion des regelmäßigen n-Eckes, Winkeldreiteilung.
14.01.2010	Zyklische Erweiterungen von Primzahlgrad, Radikalerweiterungen können in normale Radikalerweiterungen eingebettet werden, Zusammenhang zwischen Polynome, die durch Radikale auflösbar sind und auflösbaren Gruppen, die Cardanoschen Formeln (explizite Nullstellenbeschreibung für Polynome vom Grad 3).
12.01.2010	Die Galoisgruppe vom n-ten Kreisteilungskörper, zyklische, abelsche und auflösbare Erweiterungen, Radikalerweiterungen, durch Radikale auflösbare Polynome, die Galoisgruppe von Xn-a.
07.01.2010	Die Galoisgruppe eines Polynoms, die Permutationsdarstellung der Galoisgruppe eines Polynoms, n-te Einheitswurzeln, primitive n-te Einheitswurzeln, Gaußsches Lemma und Eisensteinkriterium, Kreisteilungspolynome, Kreisteilungskörper, die Galoisgruppe vom n-ten Kreisteilungskörper ist isomorph zur Einheitengruppe von Z/nZ.
22.12.2009	der Hauptsatz der Galoistheorie und der Translationssatz.
17.12.2009	separable Elemente erzeugen separable Erweiterungen, galoissche Körpererweiterungen, die Galoisgruppe, Zusammenhang zwischen galoissch und dem Körpergrad, Fixkörper, Lemma von Artin, Charakterisierung von Galoiserweiterungen, Verbandsantihomomorphismen, der Hauptsatz der Galoistheorie (die Galoiskorrespondenz).
15.12.2009	Körper in Charakteristik Null sind vollkommen, der Zusammenhang zwischen Vollkommenheit und dem Frobeniusendomorphismus, endliche Körper sind vollkommen, der Separabilitätsgrad, Berechnung des Separabilitätsgrads von Stammkörpern, Gradformel für den Separabilitätsgrad, der Satz vom primitiven Element, Zusammenhang zwischen Separabilität und dem Separabilitätsgrad.
10.12.2009	Die Diskriminante und der Zusammenhang mit der Resultante, separable Polynome, separable algebraische Elemente, separable algebraische Erweiterungen, Kriterien für Separabilität, algebraische Erweiterungen in Charakteristik Null sind separabel, inseparable Erweiterungen, vollkommene Körper.
08.12.2009	Der Frobeniusendomorphismus, die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch, Klassifikation der endlichen Körper, Resultanten und ihre Darstellung als Funktion in den Nullstellen.
03.12.2009	Eindeutigkeit vom algebraischen Abschluss, Automorphismen von Körpererweiterungen, Zusammenhang zwischen Erweiterungsgrad und Automorphismengruppe, Permutationsdarstellung der Automorphismengruppe eines Zerfällungskörpers, der Satz von Dedekind, Normale Körpererweiterungen.
01.12.2009	Zerfällunkskörper: Existenz und Eindeutigkeit, Fortsetzung von Isomorphismen auf Zerfällunkskörper, algebraischer Abschluss eines Körpers, Existenz eines algebraischen Abschlusses, Fortsetzung von Homomorphismen auf algebraische Erweiterungen.
26.11.2009	algebraisch unabhängige Elemente, Transzendenzbasen, rein transzendente Erweiterungen, der Transzendenzgrad, die Transzendenzgradformel, einfache Körpererweiterungen, Stammkörper: Existenz und Eindeutigkeit.
24.11.2009	Körper,Teilkörper, Erweiterungskörper, Kompositum, Primkörper, Körperhomomorphismen, die Charakteristik eines Körpers, transzendente und algebraische Elemente, Minimalpolynome, der Erweiterungsgrad, die Gradgleichung, endliche Erweiterungen, Transitivität der Algebraizität, der algebraische Abschluss eines Körpers in einem Erweiterungskörper.
19.11.2009	Der Satz von Schur-Zassenhaus im Fall eines abelschen Normalteilers, der Satz von Schur-Zassenhaus im allgemeinen Fall, Zusatz zum Satz von Schur-Zassenhaus: alle Komplemente sind konjugiert.
17.11.2009	Operationen von Gruppen auf Gruppen, das semidirekte Produkt, Komplemente von Normalteilern, die Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 12.
12.11.2009	Jede einfache Gruppe der Ordnung 60 ist isomorph zu A5, p-Gruppen sind nilpotent, Untergruppen von vorgegebenen Primzahlpotenz-Ordnungen, der Satz von Cauchy, Gruppen der Ordnung pq sind auflösbar, der Satz von Burnside (ohne Beweis), Normalisatoren in nilpotenten Gruppen, Charakterisierung von nilpotenten Gruppen über ihre Sylow-Untergruppen.
10.11.2009	Die aufsteigende Zentralreihe, der Zusammenhang zwischen Nilpotenz und den auf- bzw. absteigenden Zentralreihen, der Exponent einer endlichen Gruppe, p-Gruppen, p-Sylow-Untergruppen, die Sylowsätze, Anwendung: es existieren keine einfachen Gruppen der Ordnung 40, die p-Sylowuntergruppen in GLn(Fp ).
05.11.2009	Der Satz von Jordan-Hölder, Auflösbarkeit, Zusammenhang zwischen Auflösbarkeit, Subnormalreihen und Kompositionsreihen, Zentralreihen, nilpotente Gruppen, die absteigende Zentralreihe.
03.11.2009	Die symmetrische Gruppe Sn, Erzeuger der alternierenden Gruppe An, die Normalteiler von Sn, An ist für n>4 einfach, ein geometrischer Beweis für die Einfachheit der Ikosaedergruppen, Subnormalreihen, Kompositionsreihen, Kompositionsfaktoren, maximale Normalteiler, Äquivalenz von Subnormalreihen.
29.10.2009	Die Bahnbilanzgleichung, Fixpunkte, der Fixpunktsatz, Konjugationsklassen, der Zentralisator einer Untergruppe, das Zentrum einer Gruppe, die Klassengleichung, Gruppen, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist, haben nichttriviales Zentrum, Gruppen der Ordnung p2 sind abelsch, Beispiel: Endliche Untergruppen der Drehgruppe SO3.
27.10.2009	Zweite Version des Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen, Operationen von Gruppen auf Mengen, Stabilisatoren, Bahnen, transitive Operationen, treue Operationen, die Permutationsdarstellung einer Operation, der Satz von Cayley, die reguläre Darstellung einer Gruppe, jede endliche Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe.
22.10.2009	Zyklische Gruppen, Erzeuger zyklischer Gruppen, Untergruppen zyklischer Gruppen, Direkte Produkte: Definition über die universelle Abbildungseigenschaft (UAE), Existenz und Eindeutigkeit des direkten Produkts, ein Kriterium zur Aufspaltung einer Gruppe in ein direktes Produkt, endlich erzeugte Gruppen, der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.
20.10.2009	Homomorphismen, Isomorphismen, Automorphismen, der Homomorphiesatz und die Isomorphiesätze, Verbandshomomorphismen, Verbandsisomorphismen.
15.10.2009	Normalteiler, konjugierte Untergruppen, einfache Gruppen, eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, das Erzeugnis eines Normalteilers und einer Untergruppe, die Untergruppen der S3, Gruppen der Ordnung kleiner 8, Verbände, modulare Verbände, der Untergruppenverband, die Faktorgruppe, Kommutatoren, die Kommutatoruntergruppe.
13.10.2009	Halbgruppen, Monoide, Gruppen, Untergruppen, das Untergruppenkriterium, die von einer Menge erzeugte Untergruppe, Ordnungen von Elementen einer Gruppe, Nebenklassen einer Untergruppe in einer Gruppe, der Index einer Untergruppe, die Indexformel, der Satz von Lagrange, Kleiner Fermat der Gruppentheorie.

Termine

Typ	Termin	Hörsaal
Vorlesung	Dienstag, 14:00–15:30 Uhr	Hörsaal IV (Hauptgebäude)
Vorlesung	Donnerstag, 11:45–13:15 Uhr	Hörsaal III (Hauptgebäude)
Globalübung	Donnerstag, 15:30–17:00 Uhr	Hörsaal V (Hauptgebäude)
Kleingruppe 1	Mittwoch, 10:00–11:30 Uhr	SFo 10
Kleingruppe 2	Mittwoch, 17:20–18:50 Uhr	RS 103
Kleingruppe 3	Freitag, 10:00–11:30 Uhr	SG 13

Leistungsnachweis

Zum Erwerb eines Leistungsnachweises müssen mindestens 50 Prozent der Punkte in den wöchentlich ausgegebenen Übungsblättern erreicht und zweimal eigene Lösungen zu Aufgaben in angemessener Form in der Übung vorgestellt werden. Am Ende des Semesters gibt es zudem eine Klausur.

Übungsblätter

Bitte die Übungsblätter (Einzelabgabe!) montags bis 12 Uhr im Zettelkasten des Lehrstuhl A einwerfen! Die Übungsblätter gibt es hier montags ab 12 Uhr zum Download.

Kontakt

Bei Fragen zur Veranstaltung »Algebra« können Sie uns gerne kontaktieren. Sie können uns in der Regel persönlich nach der Vorlesung oder Übung ansprechen. Zudem können Sie in unsere Sprechstunden kommen oder sich telefonisch oder per Mail melden.

Dipl.-Math. Annette Maier

Büro	Telefon	Mail	Sprechstunde
Hauptgebäude, Raum 238	80-97065	Annette.Maier@matha.rwth-aachen.de	Mittwoch, 13:30-14:30 Uhr oder nach Vereinbarung

Prof. Dr. Julia Hartmann

Büro	Telefon	Mail	Sprechstunde
Hauptgebäude, Raum 239	80-94528	hartmann@matha.rwth-aachen.de	Mittwoch, 11-12 Uhr oder nach Vereinbarung