LEHRSTUHL
A
FÜR MATHEMATIK
FÜR MATHEMATIK
Analysis und Zahlentheorie
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FÜR MATHEMATIK
Analysis und Zahlentheorie
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Wir betrachten eine komplexe Abbildung f, z.B. ein Polynom 2. Grades. Dann gibt es komplexe Zahlen α,β und γ, so dass für alle komplexe Zahlen z die Gleichung f(z)=α(z-β)²+γ gilt. Wenn wir die Folge z, f(z), f(f(z)), f(f(f(z))), f(f(f(f(z)))), ... betrachten, so fragen wir, was passiert. Konvergiert die Folge gegen einen Punkt? Geht sie nach unendlich? Oder bleibt sie beschränkt ohne zu konvergieren?
Man zeigt durch einsetzen, dass f(z) und g(z):=α(f(z/α+β)-β) das gleiche Verhalten bezüglich der Konvergenz von z,f(z),f(f(z)),... bzw. α(z-β), g(α(z-β)), g(g(α(z-β))),... aufweisen, nur dass g(z)=z²+αγ-β eine einfachere Form hat. Es reicht also, Polynome der Form f(z)=z²+c zu betrachten und dabei den Parameter c zu variieren. Das führt zum Apfelmännchen.
Im Reellen bedeutet die Konvergenz eine Folge (a(n))n, dass es einen Grenzwert oder Limes genannten reellen Wert a gibt, so dass es für alle ε>0 ein natürliches N gibt, so dass |a-a(n)|<ε für alle n>N gilt. So konvergiert z.B. die Folge (1+1/2+1/4+1/8+...) gegen 2. Im Komplexen ist es nicht viel anders: Eine Folge (a(n))n von komplexen Zahlen konvergiert gegen ihren komplexen Limes (=Grenzwert), wenn es zu jedem ε>0 ein N>0 gibt, so dass |a-a(n)|<ε für alle n>N gilt. Im Komplexen wie auch im Reellen spricht man jedoch hin und wieder von der Konvergenz gegen Unendlich und man meint damit, dass die Folgenglieder betragsmässig immer größer werden in dem Sinne, dass zu jedem M>0 ein natürliches N existiert, so dass |a(n)|>M fü alle n>N gilt.
Man sagt, dass eine Folge unbestimmt divergiert, wenn sie nicht konvergiert, weder gegen einen komplexen Wert noch gegen Unendlich. "Man könnte salopp sagen, dass eine unbestimmt divergente Folge "umher springt" ohne je zur Ruhe zu kommen."
Zwei Beispiele für weder in den komplexen Zahlen konvergente noch gegen unendlich konvergente Folge sind die Folgen ((-1)n )n und ((-2)n+2n )n.
Wir geben gleich zwei (äquivalente) Definitionen:
Das Apfelmännchen ist die Menge der komplexen Zahlen c, für die die Juliamenge von z -> z²+c zusammenhängend ist. Diese Definition ist von theoretischem Hintergrund aus interessant, aber nicht für die Berechnungen praktikabel. Man kann jedoch zeigen, dass sie zu folgender Definition äquivalent ist:
Das Apfelmännchen ist die Menge der komplexen Zahlen c, für die die Folge (a(n)) mit a(n+1)=a(n)²+c und a(0)=0 nicht gegen unendlich konvergiert.
Sollten Sie das nochmal plastisch erleben wollen, so sehen Sie sich doch den folgenden Film an:Film ab!
Die Juliamenge (nach dem Franzosen Gaston Julia (1893 bis 1978)) einer Abbildung f: C -> C ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für die die Folge a(0)=c, a(n+1)=f(a(n)) divergiert.
Der Mathematiker Pierre Fatou (1878-1929 trug in etwa ebenso viel zur Erforschung der Fraktale bei wie Gaston Julia, doch ist aufgrund von Eitelkeiten und Misgunst ein Streit über die Ursprünge der Theorie entbrannt. Nach Fatou ist nun die Menge der Punkte benannt, für die die Folge (a(n))n (Def. siehe Juliamenge) konvergiert (gegen eine komplexe Zahl oder gegen unendlich). Juliamenge und Fatoumenge sind genaue Gegenteile: Jeder Punkt ist genau einer der beiden Mengen zuzuordnen.
In den meisten Bildern ist die Juliamenge an sich nicht sichtbar. Von ihrer Dicke ist sie in den allermeisten Fällen kaum mehr als ein "Strich in der Landschaft". Deshalb wäre sie auf keinem Bild sichtbar. Statt dessen gibt man der Fatoumenge verschiedene Farben: Ist nach wenig Iterationen klar, dass die Folge gegen unendlich oder einen Fixpunkt konvergiert, so färbt man den Startwert schwarz, dauert das länger, so gibt man ihm eine kräftigere Farbe. Am Stärksten färbt man schließlich die Punkte ein, bei denen der Rechner nach einer gewissen Zahl von Iterationen (etwa 100 bis 1000) noch keine Konvergenz feststellen kann.
Ein Fraktal ist ein selbstähnliches graphisches Objekt, z.B. das Apfelmännchen und viele Juliamengen. Aber was ist das, selbstähnlich? Das bedeutet, dass bereits ein kleiner Teil des Objekts dem ganzen Objekt sehr stark ähnelt. So ist ein Baum in gewissem Maße selbstähnlich: Die Äste ähneln in ihrer Struktur mit ihren Zweigen dem Stamm von dem die Äste abgehen, die Zweige ähneln den Ästen, wenn sie Blätter tragen, oder kleinere Zweige.
Auch das Sierpinski Dreieck fällt darunter, das muss man aber auch nicht kennen.
...finden sich (z.B.) auf einer ausführlichen Osnabrücker Seite.
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