Algebraische Funktionenkörper, SS 2010
Herzlich willkommen auf der Webseite zur Veranstaltung »Algebraische Funktionenkörper« im Sommersemester 2010.
Neuigkeiten
16.07.2010Errata
Es gibt jetzt 3 Korrekturen zu Resultaten aus der Vorlesung: Die Aussage in Teil b) des Satz II.3.1.1 muss abgeändert werden (siehe Korrektur 1 ), damit ergibt sich im Beweis zu Prop. II.4.2.4.2) ein zusätzlicher Schritt (siehe Korrektur 2 ). Desweiteren gibt es noch eine Korrektur zum 4. Schritt im Beweis des Residuensatzes.
Vorlesungsplan
| 22.07.2010 | Projektive Varietäten, Kurven, die lokalen Ringe zu einer affinen Kurve sind diskrete Bewertungsringe, elliptische Funktionenkörper, Normalform, Elliptische Kurven, Addition auf elliptischen Kurven, Elliptische Codes, Satz von Katsman-Tsfasman, MDS-Vermutung. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 20.07.2010 | Assymptotische Schranken (Bericht): Allgemeine Codes, Satz von Shannon, relativer Minimalabstand, asymptotische maximale Informationsrate, asymptotische Singleton-Schranke, asymptotische Plotkin-Schranke, q-adische Entropiefunktion, Satz von Gilbert-Varshamov, asymptotische Gilbert-Varshamov-Schranke, AG-Schranke (Tsfasman-Vladut-Zink). Affine ebene Kurven, nichtsinguläre Kurven, projektive ebene Kurven, affine Varietäten. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 15.07.2010 | Operation der Automorphismengruppe auf einem Goppa-Coda, bei rationalen Goppa-Codes ist die Automorphismengruppe isomorph zur Symmetriegruppe, Teilkörpercodes, der Satz von Delsarte und Anwendungen auf Dimension von Codes. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 13.07.2010 | Der Basis-Decodier-Algorithmus, Symmetriegruppe eines Codes, Automorphismengruppe eines Codes. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 08.07.2010 | Rationale Goppa-Codes, Zusammenhang zwischen RS-Codes und rationalen Goppa-Codes, klassische Goppa-Codes, Teilkörpercodes, klassische Goppa-Codes sind rationale Goppa-Codes, garantierte Dimension und Minimaldistanz, Syndrome, Fehlerpositionen, fehleridealisierende Funktionen. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 06.07.2010 | Duale Goppa-Codes, Dimension von dualen Goppa-Codes und Schranken an die Minimaldistanz, der duale Code eines Goppa-Codes ist ein dualer Goppa-Code, duale Goppa-Codes sind Goppa-Codes, duale Goppa-Divisoren, verallgemeinerte Reed-Solomon-Codes (RS-Codes), Dimension und Minimaldistanz von RS-Codes, der duale Code eines RS-Codes. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 30.06.2010 | Hamming-Codes, zyklische Codes, Erzeuger- und Kontrollpolynom, die Singleton-Schranke, pseudorationale Codes, Reed-Solomon-Codes, geometrische Goppa-Codes, Goppa-Divisoren. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 29.06.2010 | Das L-Polynom und seine Eigenschaften, Produktdarstellung des L-Polynoms, die Weilschen Zahlen, der Satz von Hasse-Weil (Beweis später), lineare Codes, Minimalabstand und Gewicht, Erzeugermatrizen, reduzierte Erzeugermatrizen, Duale Codes, die Kontrollmatrix, Decodieralgorithmus, Beispiele linearer Codes. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 24.06.2010 | Kongruenzfunktionenkörper, die Klassenzahl, die Zetafunktion, Konvergenz und Polstellenverhalten der Zetafunktion, Verhalten der Zetafunktion bei Konstantenerweiterungen, Kongruenzfunktionenkörper besitzen Stellen vom Grad 1. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 22.06.2010 | Eigenschaften des Trägheitskörpers (= Fixkörper der Trägheitsgruppe), fast gleiche Abbildungen auf Adelen, fast gleiche Weylsche Differentiale sind gleich, der Beweis des Residuensatzes in 3 Schritten: 1) für rationale Funktionenkörper, 2) Reduktion auf exakte Differentiale | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 17.06.2010 | P-adische Reihenentwicklung, Residuen von Elementen im Funktionenkörper, Verhalten des Residuums bei Wechsel der Uniformisierenden, Residuen von Differentialen, Bewertung von Differentialen, der Residuensatz (Beweis siehe 22.6.), Identifikation der Differentiale mit den Weylschen Differentialen (Dualitätssatz). | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 15.06.2010 | In inseparablen Erweiterungen verzweigen alle Stellen, Derivationen, Fortsetzung von Derivationen auf transzendente und endliche separable Erweiterungen, separierende Variablen, Existenz von separierenden Variablen, Kettenregel für Derivationen, Differentiale, die universelle Derivation, Kettenregel für Differentiale, die UAE des Vektorraums der Differentiale. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 10.06.2010 | Liften von Differentialen auf Erweiterungskörper, Beschreibung des Differentialdivisors gelifteter Differentiale, die Relativgeschlechtsformel, es existieren verzweigte Stellen, der Satz von Lüroth, Ausblick: Konstantenerweiterungen. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 08.06.2010 | Der Differentenexponent, der Dedekindsche Differentensatz, die Conorm, der planierte Adelring, geliftete Differentiale, die Spur auf dem planierten Adelring. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 02.06.2010 | Eindeutige Fortsetzbarkeit von Bewertungen auf endliche separablen Erweiterungen vollständig diskret bewerteteter Körper, Fortsetzung von Bewertungen auf endliche separable Erweiterungen von Funktionenkörpern, der Differentenexponent. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 20.05.2010 | Restklassenkörper ändern sich bei Vervollständigung nicht, die Vervollständigung des rationalen Funktionenkörpers an einer Stelle vom Grad 1 ist ein Körper von Laurentreihen, Norm- und Spurabbildungen, Berechnung der Norm und Spur in separablen Erweiterungen, Spur- und Normschachtelungssatz, das Henselsche Lemma. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 18.05.2010 | Die Galoisgruppe operiert transitiv auf der Menge der Fortsetzungen einer Stelle in einer endlichen Erweiterung, Zerlegungsgruppen, die Restklassenkörpererweiterung zu einer Bewertungsfortsetzung in einer Galoiserweiterung ist normal und ihre Automorphismengruppe ist ein epimorphes Bild der Zerlegungsgruppe, Trägheitsgruppen, in einer endlichen separablen Erweiterung verzweigen nur endlich viele Stellen, allgemeine diskret bewertete Körper, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit, Existenz und Eindeutigkeit von Vervollständigungen. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 11.05.2010 | Existenz von Fortsetzungen, die fundamentale Gleichung, Bestimmung des Geschlechts mit Hilfe von Galoistheorie anhand des Beispiels x4+y2=-1. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 06.05.2010 | Klassifikation der Funktionenkörper vom Geschlecht Null, Fortsetzung von Bewertungen, der Verzweigungsindex und relative Grad einer Bewertungsfortsetzung, Gradformeln, Existenz von Fortsetzungen. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 04.05.2010 | Der Divisor eines Differentials, die kanonische Klasse, der Dualitätssatz, der Satz von Riemann-Roch, Charakterisierung der kanonischen Klasse durch Grad und Dimension, Dimension von Divisoren von Divisoren vom Grad > 2g-2, der starke Approximationssatz, der kleinste positive Divisorgrad, Chrakterisierung der Funktionenkörper vom Geschlecht Null. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 29.04.2010 | Zusammenhang zwischen Spezialitätsindex und Adelen, Charakterisierung des Geschlechts durch Adele, Weilsche Differentiale, Zusammenhang zwischen Spezialitätsindex und Weilschen Differentialen, die Weilschen Differentiale bilden einen eindimensionalen Vektorraum über dem Funktionenkörper, Minimum und Maximum von zwei Divisoren. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 27.04.2010 | Das Geschlecht eines Funktionenkörpers, der Spezialitätsindex eines Divisors, spezielle Divisoren, der Satz von Riemann, rationale Funktionenkörper haben Geschlecht Null, der Adelring eines Funktionenkörpers, Hauptadele, das Parallelotop eines Divisors, Zusammenhang zwischen Faktorrraum der linearen Räume und Faktorraum der Parallelotope zu zwei Divisoren. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 22.04.2010 | Primdivisoren, die Divisorengruppe, effektive Divisoren, die Gradabbildung, Null- und Polstellendivisoren, Hauptdivisoren, Divisorklassengruppe, der lineare Raum und die Dimension eines Divisors, Hauptdivisoren haben Grad Null. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 20.04.2010 | Rationale Funktionenkörper, Stellen eines rationalen Funktionenkörpers, der schwache Approximationssatz, ein Funktionenkörper hat unendliche viele Stellen, Null- und Polstellenmengen sind endlich. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 15.04.2010 | Stellen, lokale Parameter bzw. Uniformisierende, diskrete Bewertungen, starke Dreiecksungleichung, Zusammenhang zwischen diskreten Bewertungen und Stellen, Restklassenkörper und Restklassenhomomorphismus, der Grad einer Stelle, Nullstellen und Polstellen. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
| 13.04.2010 | Übersicht zur Vorlesung Algebraische Funktionenkörper, Bedeutung in der algebraischen Geometrie, Beziehung zur (algebraischen) Zahlentheorie, Bedeutung in der Codierungstheorie. Kapitel 1: Algebraische Funktionenkörper: Algebraische und transzendente Erweiterungen, Konstantenkörper, Bewertungsringe, Bewertungsringe in Funktionenkörpern sind lokale Hauptidealringe, Charakterisierung der Ideale in Bewertungsringen. | Vorlesungsnotizen auf Anfrage |
Termine
| Typ | Termin | Hörsaal |
|---|---|---|
| Vorlesung | Dienstag, 14:00–15:30 Uhr | Hörsaal V (Hauptgebäude) |
| Vorlesung | Donnerstag, 10:00–11:30 Uhr | SG 13 (Seminargebäude) |
| Übung | Mittwoch, 14:00–15:30 Uhr | SG 12 (Seminargebäude) |
Leistungsnachweis
Zum Erwerb eines Leistungsnachweises müssen mindestens 50 Prozent der Punkte in den wöchentlich ausgegebenen Übungsblättern erreicht und zweimal eigene Lösungen zu Aufgaben in angemessener Form in der Übung vorgestellt werden. Am Ende des Semesters gibt es zudem eine mündliche Prüfung.
Übungsblätter
Bitte die Übungsblätter (Einzelabgabe!) dienstags bis 14 Uhr im Zettelkasten vor Raum 238 (Hauptgebäde) einwerfen! Die Übungsblätter gibt es hier dienstags ab 14 Uhr zum Download.
| PDF-Datei | Abgabe | Sonstiges |
|---|---|---|
| Übungsblatt 1 | 27.04.2010 | |
| Übungsblatt 2 | 04.05.2010 | |
| Übungsblatt 3 | 11.05.2010 | korrigierte Version |
| Übungsblatt 4 | 18.05.2010 | |
| Übungsblatt 5 | 02.06.2010 | |
| Übungsblatt 6 | 08.06.2010 | |
| Übungsblatt 7 | 15.06.2010 | |
| Übungsblatt 8 | 22.06.2010 | |
| Übungsblatt 9 | 29.06.2010 | |
| Übungsblatt 10 | 06.07.2010 | |
| Übungsblatt 11 | 13.07.2010 | |
| Übungsblatt 12 | 20.07.2010 | Letztes Übungsblatt |
Kontakt
Bei Fragen zur Veranstaltung »Algebraische Funktionenkörper« können Sie uns gerne kontaktieren. Sie können uns in der Regel persönlich nach der Vorlesung oder Übung ansprechen. Zudem können Sie in unsere Sprechstunden kommen oder sich telefonisch oder per Mail melden.
Dipl.-Math. Annette Maier
| Büro | Telefon | Sprechstunde | |
|---|---|---|---|
| Hauptgebäude, Raum 238 | 80-97065 | Annette.Maier@matha.rwth-aachen.de | Montags, 14:15-15:15 Uhr oder nach Vereinbarung |
Prof. Dr. Julia Hartmann
| Büro | Telefon | Sprechstunde | |
|---|---|---|---|
| Hauptgebäude, Raum 239 | 80-94528 | hartmann@matha.rwth-aachen.de | Donnerstag, 12-13 Uhr oder nach Vereinbarung |
